Matemáticas

1. Fracciones                                 


Una fracción suele considerase como “la parte de un todo” que  se ha dividido en partes iguales.

3   se cogen tres partes iguales, de algo que esta divido en 5.

5

Numerador       3
Denominador    5
 Si  500€ se dividen en 5 1   son 100 € ;  3   a  300€                                                           5                      5                                                                                                                             

* El cociente entre el numerador y el denominador suele obtenerse un número decimal

       3    =    0,6          

       5



Una fracción es un número decimal =los números decimales pueden escribirse como una fracción

FRACCIÓN GENERATRIZ


Decimal exacto
Se divide el número sin coma, por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales hay.   815   =  8,15
         100                                                                                                                                                                   
Decimal exacto.



1/8 = 0,125000... = 0,125





Decima periódico puro

En el numerador se escribe la diferencia entre la parte entera seguida del periodo y la parte entera,en el denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo.
 Periodo de una sola cifra:

N= 85,11 ;

  1. N= 85,11
  2. multiplica N  10 =851,11
  3. resta 10N - N (9) ;      851,11  - 85 =766,11
     x =  766  =  85,11
             9
Periodo de varias cifras:
N=6,207

 1000N = 6207,207

 1000N-N = 999N   ;6207,207-6,207 = 6201/999
Decimal



periódico puro.   12/11 = 1,090909... = ; El periodo es 09





Decimal periódico mixto
En el numerador se escribe la parte entera seguida de las cifras hasta acabar el primer

periodo menos la parte entera seguida de las cifras hasta comenzar el periodo, en el
denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo seguidos de tantos ceros como cifras hay entre la coma y el comienzo del periodo.

N=4,9368368..



  1. 1 cifra entre la coma y el periodo:se multiplica por 10   10N=49,368368...
    2.
  2. Periodo con 3 cifras:se multiplica por (10)3    10000N=49368,368...
  3. Restando: 10000 N - 10 N (9990N)=  49368-49
         
                                                          X=49319   =  4,9368368
                                                                9990



Decimal periódico mixto.  31/15 = 2,06666... = El periodo es 6





Orden y representación gráfica





Los números racionales están ordenados, de manera que siempre podemos comparar dos cualesquiera y 
podemos representarlos como puntos de una recta. Para comparar dos números racionales los 
escribimos en forma de fracción, los reducimos a común denominador y comparamos los numeradores, 
teniendo en cuenta que: 
  1.  Cualquier fracción negativa es menor que cualquier fracción positiva. 
  2.  De dos fracciones positivas con igual denominador es menor la que tenga el menor numerador. 
  3.  De dos fracciones negativas con igual denominador es menor la que tenga el numerador con mayor valor absoluto. 

Para representarlos gráficamente utilizaremos la técnica descrita en la imagen adjunta. 

Para dividir un segmento en partes iguales, se dibuja una recta auxiliar desde un extremo del segmento, sobre ella se toma una medida arbitraria y con el compás se
traslada tantas veces a la derecha como partes se quieran hacer. Se une el último punto así obtenido con el otro extremo del segmento, y se trazan paralelas a este último segmento. Estas paralelas dividen el segmento inicial en las partes deseadas.

Operar con fracciones

Propiedades de la suma 

Conmutativa: El orden de los sumandos no cambia el resultado:



Asociativa: Cuando hay varios sumandos se pueden agrupar en cualquier orden:




Elemento neutro: Cualquier fracción sumada con cero da la misma fracción. (Ten en cuenta que
0 = 0/1 = 0/2 = 0/3 = ...)


Elemento opuesto: Dada una fracción cualquiera existe otra (su opuesta) que sumada con ella da cero:






Propiedades del producto 

Conmutativa: El orden de los factores no cambia el resultado:


Asociativa: Cuando hay varios factores se pueden agrupar en cualquier orden:

Elemento neutro: Cualquier fracción multiplicada por uno da la misma fracción.

Elemento inverso: Dada una fracción cualquiera (excepto las de numerador igual a cero) existe otra
(su inversa) que multiplicada con ella da uno:
La inversa de una fracción se obtiene intercambiando el numerador con el denominador, por ejemplo, la inversa de 2/3 es 3/2. Si el numerador es cero, la fracción no tiene inversa.
  


 Distributiva: Cuando se multiplica una fracción por una suma de fracciones se puede multiplicar la
fracción por cada sumando y realizar la suma después:
 La propiedad contraria de la propiedad distributiva es sacar factor común. Esta propiedad
consiste en que cuando hay varios sumandos y todos ellos van multiplicados por un mismo factor,
se puede hacer primero la suma de esos sumandos y multiplicar el resultado por el factor.





Operaciones combinadas

Cuando se van a efectuar operaciones combinadas (con fracciones u otro tipo de números) hay que tener en cuenta las siguientes reglas de prioridad:
• Si no hay paréntesis:

  1. Primero todos los productos y cocientes de izquierda a derecha.
  2. Con los resultados obtenidos se hacen las sumas y restas, también de izquierda a derecha.

• Si hay paréntesis:

  1. Primero las operaciones de los paréntesis de acuerdo con las reglas anteriores.
  2. Si hay paréntesis anidados se van haciendo las operaciones del interior al exterior.
  3.  Debe tenerse en cuenta que los paréntesis pueden estar implícitos, por ejemplo, si en el numerador o en el denominador de una fracción hay operaciones, debe considerarse que están



Clasificación de fracciones

  • Fracciones propias
Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el
denominador. Su valor comprendido entre cero y uno
  • Fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el
denominador. Su valor es mayor que 1.
  • Número mixto
El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra
fraccionaria.
Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo denominador y
el numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el
numerador, del número mixto.

Para pasar una fracción impropia a número mixto, se divide el numerador por el
denominador. El cociente es el entero del número mixto y el resto el numerador de la  fracción, siendo el denominador el mismo.
  • Fracciones unitarias

Las fracciones unitarias tienen el numerador igual al denominador.
  • Fracciones decimales

Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.
  • Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al
producto de medios.

Ejercicios con solución
CONCEPTO DE FRACCIÓN
Suma y resta

 Multiplicación/división


Videos
Suma y resta de fracciones con diferente denominador –
multiplicación y división de fraccionarios –
Operaciones con Fraccionarios
Fracciones con potencia negativa

2......................................................Porcentajes

  • Para hallar un tanto por ciento de una cantidad, se expresa el tanto por ciento en forma decimal y se multiplica por él.
16% de  5000  es  5000   . 0,16  = 800
  • Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, a, respecto a un total,C, se efectúa a/C  . 100.
Aumentos / disminuciones porcentuales

El número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación.
En aumentos porcentuales, el índice de variación es 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal.
Para calcular el valor final, halla el índice de variación y multiplícalo por la cantidad inicial: VALOR FINAL= VALOR INICIAL + ÍNDICE VARIACIÓN.
Nevera rebaja:
620  €   rebaja   40%
   Precio final  :  620  .  0,60 = 372  €
                         0,60 es la unidad menos 40 centésimas: 1- 0,40 =0,60

 Reloj  50 €     aumenta  16%
                                   50 . 1.16 = 8€

                                    Precio final: 50 + 8 =  58 €
                                   Indice de variación  1+ 0,16 = 1.16


Calculo de cantidad inicial y final 
                 PRECIO       INICIAL⇒       . 1,35  >>>>>     PRECIO FINAL                                                             PRECIO       INICIAL    <<< : 1,35         PRECIO FINAL 
Aumenta  su precio un 35%, a un ordenador cuesta 783 € ¿Cuánto valía antes?

 Precio inicial = 783  : 1.35 = 580 €  

Ejercicios con decimales y notación científica

Videos
Razones y Proporciones-infoeduca –
Concepto de proporción –
Ejercicios de proporciones –
regla de tres simple y compuesta
Regla de Tres Simple Inversa Problema 1 –
Cómo calcular un porcentaje –
Disminución porcentuales
Interés bancario


  3.......................................................... Potencias



POTENCIAS
Potencias y raíces ejercicios

 video
potencias
Radicales
Error
Error absoluto y relativo
Notación científica 

Ejercicios de notación científica II
Ejercicios de notación científica


EJERCICIOS resueltos 
30. Calcula 63.785·108
 6.378.500.000.000 

31. Calcula 133,75078·1010 
1.337.507.800.000 

32. Calcula 30189·10-2
30189/100 = 301,89

33. Calcula 626,2·10-5
626,2/100000 = 0,006262 

34. Pasa a forma científica el número 94494000
 9,4494·107
 35. Pasa a forma científica el número 0,0000007308
7,308·10-7 

36. Efectúa las siguientes operaciones dejando el resultado en notación científica:
(5,6733·102 ) ·(1,6258·10-6)
9,22365114·10-4 

37. Efectúa las siguientes operaciones dejando el resultado en notación científica:
 (1,2319·10-9 ) ·(8,4798·10-1)
 10,44626562·10-10 = 1,044626562·10·10-9 = 1,044626562·10-8 




Tema 4.........................................RAICES CUADRADAS 


Numeros perfectos/amigos

Videos

DIVISORES DE NUMEROS NATURALES.Máximo Común Divisor - Método práctico –
Encontrar el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)
Cálculo de divisores de un número –
Descomposición de un número en factores primos 
Raiz cuadrada por descomposición de números primos
División de raices cuadradas
Propiedades de las raices y sus operaciones
Raices y operaciones
Descomposición de raices
Potencias en raices cuadradas
Propiedades de las raices 
Radicales
Radicales 1
Radicales 2
Radicales 3
Radicales 4
Radicales 5
Radicales 7
Radicales 8  


Tema 5........................................... Progresiones aritméticas y geométricas

 1. Sucesiones
 Definición.
Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales:a1, a2, a3, a4, a5, a6, ...
Cada elemento de la sucesión se llama término de la sucesión. Para designarlos se emplean subíndices.
Los términos de las sucesiones se pueden determinar a partir de cierto criterio, este criterio se denomina regla de formación.

 Término general
El término general de una sucesión es el que ocupa un lugar cualquiera, n, de la misma, se escribe an
• Hay sucesiones cuyo término general es una expresión algebraica, que nos permite saber cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar que ocupa, n.
• En otras, cada término se obtiene a partir de los anteriores, se dice que están dadas en forma recurrente. Una relación de recurrencia es una expresión algebraica, que expresa el término n en
función de los anteriores.

4, 7, 10, 13,…
Primer término: a1=4
Segundo término: a2=7
Tercer término: a3=10
Cuarto término: a4=13
Cada término se obtiene del
anterior sumándole 3.
a2 = a1 + 3 = 4 + 3 = 7
a3 = a2 + 3 = 7 + 3 = 10
a4 = a3 + 3 = 10 + 3 = 13
4, 8, 12, 16,…
Cada término se obtiene
multiplicando el lugar que ocupa
por 4
a1 = 1·4 = 4 a2 = 2·4 = 8
a3 = 3·4 = 12 a4 = 4·4 = 16

2. Progresiones Aritméticas
Definición 
Una progresión aritmética es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene sumando al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia de la progresión. 
• Si d>0 los números cada vez son mayores, se dice que la progresión es creciente. 
• Si d<0 los números cada vez son menores, se 
dice que la progresión es decreciente 



Término general 
En una progresión aritmética cada término es igual al anterior más la diferencia. Observa: 
a2 = a1 + d 
a3 = a2 + d = a1 + 2·d 
a4 = a3 + d = a1 + 2·d + d = a1 + 3·d 
a5 = a4 + d = a1 + 3·d + d = a1 + 4·d 

y siguiendo así sucesivamente, se llega a: 
an = a1 + (n-1)·d 
El término general de una progresión aritmética es: 


donde a1 es el primer término y d la diferencia. 

Suma de n términos 
En una progresión aritmética finita de n términos, la suma de términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de ellos: 
a1+an = a2+an-1= a3+an-2 = … 
A partir de esta propiedad se obtiene que la suma Sn= a1+a2+.......+an de los n primeros términos de una progresión aritmética es: 

Actividad interactiva
EJERCICIOS DE PROGRESIONES
PROGRESIONES ARITMETICAS
1. Hallar los términos que se indican de las siguientes progresiones aritméticas:
a) El término 20 en: 1, 6, 11, 16... b) El término 6 en: 3, 7, 11, 15...
c) El 12 en: -4, 0, 4, 8... d) El término 10 en: 2, 5, 8, 11...
Sol: a) 96; b) 23; c) 40; d) 29
2. Halla los términos a4, a7, a2, a10 de las siguientes sucesiones:
a) an = 3n-2 b) an = n
2
-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
Sol: a) a4=10, a7=19, a2=4; a10=28; b) a4=15, a7=48, a2=3; a10=99
 c) a4=13, a7=25, a2=5; a10=37; b) a4=11, a7=17, a2=7; a10=23
3. Hallar el término a10 en una progresión aritmética en la que a1 = 5 y la diferencia es
d = -3.
Sol: -22
4. Calcula el término general de las siguientes sucesiones:
a) -1,1,3,5,7,9 b) 3,6,9,12,15,18
c) 5,6,7,8,9 d) -2,0,2,4,6
Sol: a) 2n-3; b) 3n; c) n+4; d) 2n-4
5. Completa la siguiente tabla:
a1 a2 a3 a4 a5 a6 an
1 3 5
4 16 19
10 13 16
Sol: 7,9,11,2n-1; 7,10,13,...,3n+1; 1,4,7,...,3n-2
6. Calcula el primer término de una progresión aritmética que consta de 10 términos, si
se sabe que el último es 34 y la diferencia es 3. Sol: 7
7. En una progresión aritmética a12 = -7 y d = -2. Hallar a1
Sol: 15
8. En una progresión aritmética a20 = -33 y a12 = -28, hallar a1 y d.
Sol: a1 = 5; d = -3
I.E.S. Arroyo de la Miel Dpto de Matemáticas9. En una progresión aritmética d = 5 y a25 = 110, hallar a20.
Sol: a20 = 85
10. ¿Cuántos términos tiene una progresión artimética cuyo primer término es 8 y el
último 36, si se sabe que la diferencia es 2. Sol: 15
11. Interpola los términos que se indican en cada apartado:
a) cuatro entre 7 y 17
b) cinco entre 32 y 14
c) Seis entre -18 y 17
Sol: a) 9, 11, 13, 15; b) 29, 26, 23, 20, 17; c) -13, -8, -3, 2, 7, 12
12. Interpolar los términos que se indican, de modo que resulte una progresión
aritmética:
a) Cuatro términos entre 15 y 30 b) Cuatro términos entre 15 y 5
c) Seis términos entre 3 y 38 d) Cinco términos entre 1 y 25
Sol: a) d = 3; b) d = -2; c) d = 5; d) d = 4
13. Si entre los números 8 y 16 hay tres medios aritméticos. ¿Cuál es la diferencia?
Sol: 2
14. Calcula la diferencia de la progresión aritmética, sabiendo que entre 12 y 52 hay
tres medios aritméticos.
Sol: 10
15. Calcula el término a15 de una progresión aritmética donde el primer término es 3 y
la diferencia 5. Sol: a15 = 73
16. Halla la suma de los términos de una progresión aritmética en los siguientes casos:
a) De los 10 primeros términos de: 1, 6, 11...
b) de los 20 primeros términos de: 22, 23, 24...
c) De los 30 primeros términos de: 1/2, 3/4, 1...
Sol: a) a10=46, S=235; b) a20=41, S=630; c) a30=31/4, S=495/4.
17. Halla la suma de los 12 primeros términos de una progresión aritmética sabiendo
que a3 = 7 y a10 = 21.
Sol: S = 168.
18. Halla la suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética sabiendo
que a1 = 7 y a10 = 52.
Sol: S = 295.
19. Halla la suma de los 100 primeros números naturales: 1, 2, 3, ...., 1000.
Sol: 5050
20. Halla la suma de los números pares: 2, 4, 6, ..., 100.
I.E.S. Arroyo de la Miel Dpto de MatemáticasSol: 2525
21. Halla las expresión del n-ésimo número par y la suma de los n primeros números
pares:
Sol: a) 2n; b) (1+n)n
22. Halla la expresión del n-ésimo número impar y la suma de los n primeros números
impares.
Sol: a) 2n-1; b) n2
.
23. Halla la expresión del n-ésimo múltiplo de 3 y la suma de los n primeros números.
Sol: a) 3n; b) [(3+3n)n]/2
24. Halla la suma de todos los números impares de dos cifras.
Sol: 2475
25. ¿Cuantos términos hay que sumar de la progresión aritmética 4, 8, 12,... para
obtener como resultado 220.
Sol: 10
26. La suma de los términos de una progresión aritmética limitada es 169 y su término
central vale 13. Hallar el número de términos de la progresión.
Sol: n = 13
27. La suma de x números naturales consecutivos tomados a partir de 35 es 1820.
Calcular x.
Sol: x = 35
28. ¿Cuántos números impares consecutivos a partir de 1 es preciso tomar para que su
suma sea igual a 1482?.
Sol: 39
29. Calcula la suma de los 50 primeros números pares.
Sol: S = 2550
30. Si consideramos 9 términos consecutivos de una progresión aritmética, a5 = 27, a7
= 39. Halla la suma de los 9 términos.
Sol: 243
31. Se consideran 12 términos consecutivos de una progresión aritmética. La diferencia
de los dos extremos es 55, y la suma del cuarto y octavo 56. Halla los extremos.
Sol: a1 = 3, a16 = 58.
32. Se consideran 10 términos consecutivos de una progresión aritmética. Los dos
extremos suman 22 y el producto del tercero y el cuarto es 48. Halla los términos de la
progresión.
I.E.S. Arroyo de la Miel Dpto de MatemáticasSol: d = 2, sucesión: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
33. La suma de tres números en progresión aritmética es 24 y su producto 440. Halla
estos números.
Sol: 5, 8, 1

 Test progresiones
Test 1,2,3,4

 Test

 Test Jclic

Crear sucesiones

 3. Progresiones Geométricas 
Definición 
Una progresión geométrica es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la progresión. 
La razón se obtiene al hacer el cociente entre dos términos consecutivos: 


Término General 
En una progresión geométrica cada término es igual al anterior por la razón. Observa: 
            a2 = a1·r                                       a3 = a2·r = a1·r2

                     a4 = a3·r = a1 ·r2 = a1 ·r3

y siguiendo así sucesivamente, se llega a: 
El término general de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 y la razón es r es 

Suma de n términos 
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es: 



Suma de todos los términos 
La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón r, es: 



Producto de n términos 
En una progresión geométrica el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual al producto de ellos: a1·an = a2·an-1= a3·an-2 = … 

 A partir de esta propiedad se obtiene que el producto de los n primeros términos de una progresión 
geométrica es: 


Ejercicios
PROGRESIONES GEOMETRICAS
1. Prueba cuales de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y cuales no.
Y de las que sean calcula su razón.
a) 5, 5/3, 5/9, 5/27,...
b) 3, 12, 60, ...
c) 54, 36, 24, 16, ...
Sol: a) Si r=1/3; b) No; c) Si r=2/3
2. Hallar el término décimo de la progresión: 2, 4, 8, ...
Sol: a10 = 210
3. Hallar el décimo término de la progresión: 1/64, 1/32, 1/16, ...
Sol: r = 2, a10 = 8
4. Determinar los seis primeros términos de una progresión geométrica si los dos
primeros valen 5 y 3, respectivamente.
Sol: 5, 3, 9/5, 27/25, 81/125, 243/625
5. El término a5 de una progresión geométrica vale 324 y la razón vale 3. Hallar el
primer término.
Sol: 4
6. En una progresión geométrica se sabe que a5 = 48 y a10 = 1536. Hallar el primer
término y la razón.
Sol: a1 = 3, r = 2
7. En una progresión geométrica a10 = 64 y la razón es 1/2. Hallar el término octavo.
Sol: a8 = 256
8. Indica la razón de las siguientes progresiones:
a) 1, 4, 16, 64... b) 3, -9, 27, -81...
c) -2, 10, -50, 250... d) 27, 9, 3, 1...
e) 2, 1/2, 1/8, 1/32... f) 24, -8, 8/3, -8/9...
Sol: a) 4; b) -3; c) -5; d) 1/3; e) 1/4; f) -1/3
9. Calcula el octavo término de la progresión geométrica: 3, 6, 12, 24...
Sol: 384
10. En una progresión geométrica a1 = 10 y a10= 5120. Hallar el término a5.
Sol: a5 = 160
11. Demostrar que en toda progresión geométrica cada término es igual a la raíz
cuadrada del producto del que le precede por el que le sigue.
I.E.S. Arroyo de la Miel Dpto de Matemáticas12. Dos términos consecutivos de una progresión geométrica son 54 y 81,
respectivamente. Hallar el lugar que ocupan en la progresión, si el primer término vale 24.
Sol: puestos 3 y 4
13. En una progresión geométrica a5 = 2 y a7 = 8. Hallar la razón y los primeros 5
términos.
Sol: a) r = 2; b) 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2
14. Calcula el decimosegundo término de la progresión: 1/3, 1, 3, 9, 27...
Sol: 59049
15. Halla el primer término de una progresión geométrica sabiendo que la razón es 1/2
y el octavo término es 17/64.
Sol: 34
16. Calcula la razón de una progresión geométrica donde el primer término es 5 y el
quinto es 405.
Sol: 3
17. En una progresión geométrica a1 = 3 y la razón 2, hallar el lugar que ocupa el
término que vale 1536.
Sol: n = 10
18. En una progresión geométrica a2 = 5 y la razón 3, hallar el lugar que ocupa el
término que vale 2187.
Sol: n = 9
19. Intercalar 4 términos entre 4 y 972 de modo que formen una progresión geométrica.
Sol: r = 3. 12,36, 108, 324
20. Halla el primer término de una progresión geométrica de razón 3 y cuyo sexto
término es 27.
Sol: 1/9
21. Interpolar 6 términos entre 64 y 1/2 de modo que formen progresión geométrica.
Sol: r = 1/2. 32, 16, 8, 4, 2, 1
22. Intercalar 3 términos entre 5 y 405 de modo que formen progresión geométrica.
Sol: r = 3. 15, 45, 135
23. En una progresión geométrica a1 = 2 y la razón r = 3, hallar el término a5 y el
producto de los cinco primeros términos.
Sol: a5 = 162; P = 1889568
24. Hallar tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 31 y su
I.E.S. Arroyo de la Miel Dpto de Matemáticasproducto 125.
Sol: 1, 5, 25 (r=5)
25. Hallar el producto de los 7 primeros términos de una progresión geométrica
sabiendo que el central vale 5.
Sol: 78125
26. Halla la suma de los cinco primeros términos de la progresión geométrica: 3, 6, 12,
24...
Sol: 93
27. Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica: 768, 384,
192...
Sol: 3069/2
28. En una progresión geométrica el primer término vale 8 y la razón 1/2. Hallar el
producto de los 6 primeros términos.
Sol: 8
29. Hallar tres números en progresión geométrica, sabiendo que su suma vale 12 y su
producto -216.
Sol: 3, -6, 12.
30. Tres números en progresión geométrica suman 155 y su producto vale 15625.
Calcular dichos números.
Sol: 5, 25, 125
31. Determinar cuatro números en progresión geométrica tal que los dos primeros
sumen 95 y los dos últimos 36.
Sol: 3, 6, 12, 24
32. Halla la suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica: 1/4, 1/8,
1/16...
Sol: 63/128
33. Halla la suma de los términos de las siguientes progresiones decrecientes e
ilimitadas:
a) 6, 3, 3/2, 3/4... b) 1/2, 1/6, 1/18, 1/54...
b) 18, 6, 2, 2/3... c) 27, 9, 3, 1, ...
Sol: a) 12; b) 3/4; c) 27; d) 81/2
34. Sabiendo que a1 = 5 y r = 2, hallar la suma de los 8 primeros términos de la
progresión geométrica.
Sol: S = 1275
35. Hallar la suma de los 4 primeros términos de la progresión geométrica: 8/5, 4/5,
I.E.S. Arroyo de la Miel Dpto de Matemáticas2/5, ...
Sol: r = 1/2, S = 3
36. Calcula el término a12 de la sucesión: an = 2n+5
Sol: 29
37. ¿Cuál es la diferencia en la sucesión: 5, 2, -1, ...?
Sol: -3
38. ¿Cuál es la suma de los 10 primeros términos de la sucesión: 2, 10, 50...?
Sol: 4882812
39. ¿Cuánto es la suma de los infinitos términos de la sucesión: 6, 3, 3/2, 3/4...?
Sol: 12

Interpolación
Interpolar significa colocar otros números entre dos dados.

Dados números a y b, interpolar n medios (diferenciales ó geométricos) entre a y b es encontrar x1,x2,...,xnnúmeros de forma que a,x1,x2,...,xn,b formen una progresión (aritmética ó geométrica)
Interés Compuesto
Si al invertir un capital durante un periodo de tiempo, t, a un rédito, r %, no se retiran los intereses al finalizar el periodo de inversión sino que se añaden al capital decimos que es un interés compuesto.

El capital final Cf obtenido al invertir un Capital C, al rédito r %, durante taños, a interés compuesto viene dado por la fórmula:
      

Para ver como se obtiene la fórmula "clic" aquí.



Actividad interactiva.

Ejercicios y examen

Ejercicios y examen.

Sucesión de números
Es un conjunto de infinitos números dados de forma ordenada
Progresión Aritmética
Sucesión en la que cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada diferencia
Progresión Geométrica
Sucesión en la que cada término es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón
Término de la sucesión
Es cada uno de los números que forman la sucesión
Término GeneralTérmino General
Sucesión decreciente
Es aquella en que cada término es menor que el término anterior
        a1>a2>a3>.........>an
Suma de los n primeros  términosSuma de los n primeros  términos
Sucesión creciente
Es aquella en que cada término es mayor que el término anterior
        a1<a2<a3<.........<an
Producto de los n primeros  términos
Suma de los infinitos términos







Tema 6...............................................Algebra 

Introducción algebra
Cuando se suma o resta
Multiplicación problemas
                                                                      Monomios     
- Monomio :
"Producto indicado de un número (coeficiente) por una o varias letras (parte literal) o bien un número solo" 
monomiodefinicion.gif

Ver el enlace AQUI

- GRADO DE UN MONOMIO


Se llama grado de un monomio al número de factores que forman su parte literal.

Ejemplos:

1) 3x2 , tiene grado 2 pues su parte literal tiene dos factores x·x.
2) -5bc3, tiene grado 4 pues su parte literal tiene cuatro factores b·c·c·c
Ejercicios con monomios 

                                                                       Polinomio

Un polinomio es la suma de dos o más monomios. Cada uno de los monomios que lo forman se llama término. Un término que sólo consta de un número, se llama independiente o constante.
Cuando un polinomio se ha simplificado operando con sus monomios semejantes, se dice que está en su forma reducida.
Un polinomio con dos términos se llama binomio. Un polinomio con tres términos se llama trinomio.
Si un polinomio se presenta con los grados de los monomios de mayor a menor de izquierda a derecha, se dice que está en orden descendente.Si están de menor a mayor el orden será ascendente.

  • Para sumar dos polinomios, se simplifican los monomios semejantes de ambos polinomios.
  • Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.                          

    -multiplicación de polinomios 

     animacion producto
    (nos vamos a la derecha del papel)

    1º) Colocamos los polinomios ordenados uno debajo del otro. Si falta algún grado, dejamos el hueco. 
    2º) Multiplicamos el primer monomio por la derecha del segundo polinomio por todos los del primero.
    3º) Seguimos multiplicando los demás monomios.
    4º) Sumamos todos los polinomios obtenidos.

    division_animacion
       (División (animación)

    -Regla de Ruffini


      


    1º                                    2º                                                                     3º


    4º


    ruffianimacion.gif

    -El valor numérico
     de un polinomio, P(x), para un valor x = a, es el número obtenido al sustituir la letra x por el número a y efectuar las operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a).
    Si P(a) = 0, se dice que a es una raíz o cero del polinomio P(x). Una raíz es una solución de la ecuación P(x) = 0.
    ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
    1º                                                                                                  2º
    2º
    ---------------------------------------------------------------------------------------------
    valoracion_animacion



     -Teorema del Resto 
    A partir del polinomio P(x) y el número 'a', obtenemos dos números:
    1º) El número P(a), obtenido al sustituir x por a en el polinomio P(x) y hacer las operaciones resultantes.

    2º) El número r, resto de la división P(x) : (x-a).
    Pues bien el Teorema del Resto nos dice que ambos números son iguales.
    Consecuencia importante: "son equivalentes: 'a es raíz de P(x)' y ' x-a es divisor de P(x)'"


    tmaresto.gif


    -Factorización
    1º                                                      2º
                                                                                             
    factorufianim.gif


    -Divisibilidad 
    Un polinomio, D(x), es divisor de otro, P(x), si la división P(x) : D(x) es exacta. En tal caso, también se dice P(x) es múltiplo de D(x), ya que P(x) = D(x) · Q(x).
    Un polinomio se llama irreducible cuando no tiene ningún divisor de grado inferior al suyo.
    Un polinomio M(x) es el máximo común divisor de dos polinomios, P(x), Q(x), si es el mayor de los divisores comunes a ambos polinomios. Se pone M(x) = M.C.D. [P(x), Q(x)].
    Un polinomio m(x) es el mínimo común múltiplo de dos polinomios, P(x), Q(x), si el menor de los múltiplos comunes a ambos polinomios. Se pone m(x) = m.c.m. [P(x), Q(x)].


    - POLINOMIOS: M.C.D. y m.cm. Cálculo

    Los procedimientos prácticos para obtener el M.C.D. y el m.c.m. de dos o más polinomios son:
    1º) Se descomponen en factores
    2º) Para el M.C.D.:
    Se toman los factores comunes con los menores exponentes.
    3º) Para el m.c.m.:
    Se toman todos los factores (comunes o no) con los mayores exponentes.
    1º 2º eligen los exponentes menores
    --------------------------------------------------------------------------------------------
    1º eligen todos los factores(comunes o no)
    ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


    mcdmcmanimacion.gif


    Tema 7 ..............................Ecuaciones


    Igualdad, identidad y ecuación
    Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=). Puede ser de dos tipos:

    animacion01teo01.gif
    1) Identidad es una igualdad algebraica que se cumple para todos los valores de las letras.
    2) Ecuación es una igualdad algebraica que se cumple para algunos valores de las letras.

    Elementos de una ecuaciónanimacion02teo01.gif
    Las expresiones que aparecen a cada lado del signo igual son los miembros . Los sumandos que forman los miembros son los términos . Las letras que aparecen en los términos son las incógnitas . Los valores de las incógnitas que verifican la igualdad son las soluciones. El máximo exponente de la incógnita despúes de operar es elgrado de la ecuación. El proceso de encontrar las soluciones o demostrar que no existen es resolver una ecuación.



    ECUACIONES :   Reglas de la suma y  el producto

    Resolución de ecuaciones
    Dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se dice que son equivalentes.Si tenemos la incógnita sola en un miembro y el resto en el otro, se dice que está despejada.El proceso que paso a paso nos lleva por ecuaciones equivalentes hasta tener la incógnita despejada se llamaresolver una ecuación. 

    Reglas de la suma y el producto:

    Las reglas que nos permiten pasar de una ecuación a otra equivalente son:
    Regla de la suma: sumar o restar la misma expresión a los dos miembros de la igualdad.
    Regla del producto: multiplicar o dividir los dos miembros de la igualdad por una misma expresión distinta decero. 


    ecuacionesybalanzasrecortada.gif


    Transponer y Reducir

    La regla de la suma nos permite pasar lo que está sumando en un miembro al otro restando y viceversa.La regla del producto nos permite pasar lo que está multiplicando en un miembro al otro dividiendo y viceversa.
    El procedimiento que aplica estas dos reglas prácticas se denomina transponer.
    La transposición de términos junto con la reducción nos permite transformar una ecuación en otra equivalente más sencilla.
    transyredu.gif

    ECUACIONES PRIMER GRADO:. Pasos para resolver


    ejemplopasos.gif
    Pasos para resolver una ecuación de primer grado

    1º) eliminar denominadores. 
    2º) quitar paréntesis.
    3º) transponer términos.
    4º) reducir términos semejantes.
    5º) despejar la incógnita.
    6º) comprobar la solución. 

    ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS (b=0): Pasos

    cceroanimacion.gif









    ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS: Pasos

    completa.gifcompletaanimacion.gif
    La ecuación sería: ax2 + bx + c = 0.
    Los pasos son:
    1º) Identificamos los coeficientes a, b y c.
    2º) sustituimos en la fórmula general:completa.gif
    3º) operamos.

    ECUACIONES BICUADRADAS. Pasos

    Los pasos para resolver una ecuación bicuadrada son:
    1º) Hacemos el cambio de variable z=x2. 
    2º) Resolvemos la ecuación de segundo grado en la variable z.
    3º) deshacemos el cambio de variable.
    bic_animacion.gif


    ECUACIONES CON UN RADICAL. Pasos


    unradical_animacion.gif
    1º) Aislamos el radical. 
    2º) Elevamos al cuadrado ambos miembros.
    3º) Resolvemos la ecuación resultante.
    4º) Comprobamos las posibles soluciones.Para ello las sustituimosen la ecuación original.








    ECUACIONES CON X EN EL DENOMINADOR: Pasos


    racional_animacion
    1º) Hallamos el m.c.m. de los denominadores.
    2º) Quitamos denominadores multiplicando la ecuación por el m.c.m.
    3º) Resolvemos la ecuación resultante. 
    4º) Comprobamos que las posibles soluciones no anulen los denominadores de la ecuación original.















    ECUACIONES FACTORIZADAS. Pasos


    factorizadas_animacion.gif

    Los pasos para resolver una ecuación factorizada son:

    1º) Igualamos a cero cada factor.
    2º) Resolvemos las ecuaciones correspondientes de forma independiente.
    Tema 8.........................................SISTEMA LINEAL

    - MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

    sustitucionanimacion.gif

    Ejercicios
    Ejercicios

    - MÉTODO DE IGUALACIÓN
    sisiguanimacion.gif
    Igualación ejercicios

    - MÉTODO DE REDUCCIÓN


    sisredanimacion.gif
    Reducción ejercicios
    Ejercicios
    Problemas sistemas lineales





    Tema 9 ........................SISTEMA  No LINEALES

     Los pasos para resolver un sistema exponencial son:

    sist_ exp_animacion.gif














    1º) Hacemos dos cambios de variable. 

    2º) Resolvemos el sistema lineal resultante.

    3º) Deshacemos los cambios y hallamos el valor de las variables iniciales.
    TIPO 1
    Los pasos para resolver una sistema no lineal tipo 1 (parábola + recta) son:


    sisnolint1_animacion.gifgrafica_animacion_t1
    Resolvemos el sistema por igualación:
    1º) Igualamos las ecuaciones de la parábola y la recta. 
    2º) Resolvemos la ecuación (en 'x') resultante.
    3º) Sustituimos los valores de 'x' en una de las ecuaciones del sistema para hallar el valor de 'y'.

    Podemos hallar dos soluciones, una o ninguna.
    Ejercicios no lineales Tipo 1
    TIPO 2

    propiedades potenciasexpt2_animacion
    Los pasos para resolver una ecuación exponencial tipo 2 (tras algunas transformaciones se convierte en Tipo 1) son:
    1º) Aplicamos las propiedades de las potencias para separar la potencia que contiene 'x' en el exponente.Si es necesario quitamos denominadores 
    2º) Reducimos términos semejantes.
    3º) Resolvemos la ecuación de Tipo 1 resultante.

     Ejercicios no lineales Tipo 2

    Otros tipos de sistemas No lineales
    Autoevaluación Sistema lineales



    Sistemas exponenciales


    Ejercicios exponenciales
    Y, por supuesto, todo Álgebra con Papas

         Tema 9.............................................. Funciones y gráficas

     Relaciones funcionales
    Concepto y tabla de valores 

    Una función es una relación de causa-efecto entre dos cantidades matemáticas: a iguales causas, iguales efectos.

    La causa se denomina variable independiente y se denota con la letra x. El efecto es la variable dependiente, que se indica con la letra y.

    Frecuentemente, en lugar de la letra y se utiliza la expresión f(x) (o g(x), ...) para dar a entender que y efectivamentedepende del valor de x.

    1. Relaciones funcionales
    Gráfica de una función
    Para obtener la gráfica de una función a partir de la tabla de valores primero se dibujan unos ejes de coordenadas, representándose los valores de la variable independiente (x) en el eje horizontal (abscisas) y los de la variable dependiente (y) en el vertical (ordenadas).
         Cada pareja de valores de las variables dependiente e independiente se representa mediante un punto (x,y) en el sistema de coordenadas.
     
    Los puntos dibujados se unirán si la variable independiente puede tomar cualquier valor real en el rango estudiado: la línea (recta o curva) que resulta es la gráfica de la función.

    Imagen y antiimagen 

    Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es laimagen de x y también que x es laantiimagen de y.

    Es fácil hallar imágenes y antiimágenes viendo la gráfica de la relación funcional. Así se puede reproducir la tabla de valores a partir de la gráfica de la función.

    Expresión algebraica 
    Se trata de una fórmula que permite obtener el valor de y cuando se sabe el valor de xrealizando operaciones algebraicas. Es, por lo tanto, una manera de obtener imágenes de valores de la variable independiente sin tener que recurrir a la gráfica de la función.
    Es sencillo obtener la tabla de valores de una función a partir de su expresión algebraica o analítica: no hay más que ir dando valores a x y calcular los valores de ycorrespondientes. Así los tres elementos de una relación funcional (tabla de valores, gráfica y expresión algebraica) están interconectados.

    Cuando se conoce la expresión algebraica de una función también se pueden obtener analíticamente las antiimágenes de un valor de y resolviendo una ecuación.

    Relaciones que no son funcionales 
    En una relación funcional un valor de x sólo debe tener, como máximo, una imagen. No puede ser que una causa dé dos efectos diferentes.
     
    En cambio, un mismo efecto puede proceder de diversas causas: un valor de y puede tener más de una antiimagen, o no tener ninguna.
     
    Las relaciones estadísticas son situaciones en las que, aunque no se puede predecir exactamente cuál será la imagen de un valor de x (no son, por lo tanto, relaciones funcionales), sí que se puede dar una estimación de este valor.


    2. Características de una función
    Dominio y recorrido 

    El dominio de una función es el conjunto de valores de x que tienen imagen.

    El recorrido o imagen es el conjunto de valores de y que son imagen de algún valor de x perteneciente al dominio.

    Continuidad 

    A veces, la gráfica de una función puede dar un salto en vertical en algún punto de su dominio. En ese punto se dice que la función no es continua.

    Por lo tanto, una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin necesidad de levantar el lápiz del papel en ningún momento.

    Los puntos donde la gráfica da un salto se denominan discontinuidades de la función.

    Puntos de corte con los ejes 
    El punto donde la gráfica corta el eje deordenadas es de la forma (0,y0), donde y0es la imagen de 0.
    El punto (o los puntos) de corte con el eje de abscisas son de la forma (x0,0), dondex0 es la antiimagen (o antiimágenes) de 0.

    • Para encontrar y0 se hace x=0 en la expresión de la función y se calcula y.
    • Para hallar x0 se sustituye y por 0 en la expresión de la función y se aisla x.

    Si el cero está en el dominio de la función, entonces hay punto de corte con el eje de ordenadas y este es único. Habrá punto de corte con el eje de abscisas si el cero está en el recorrido de la función, en ese caso puede suceder que haya más de uno.


    Crecimiento y decrecimiento 
    Se dice que una función es creciente en un punto si, alrededor de ese punto, cuando la xaumenta también aumenta la y.

    Y será decreciente si al aumentar la xdisminuye el valor de y.
    Si una función es creciente en un punto entonces, alrededor de él, la gráfica, vista de izquierda a derecha, asciende. Si desciende, es que es decreciente. Si la función toma el mismo valor alrededor de un punto (la gráfica se mantiene sin subir ni bajar), entonces se dice que allí la función es constante.
    Una función puede ser creciente en un conjunto de puntos de su dominio y decreciente en otros. Si sólo crece o sólo decrece entonces se denomina funciónmonótona.

    Máximos y mínimos 

    Un máximo local (o relativo) es un punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente. Ese punto no tiene por qué ser el punto más alto de la gráfica de la función. Este último (si es que existe) se denominamáximo absoluto.
    De manera similar, en un punto donde la función pasa de decrecer a crecer se dice que hay un mínimo local. El punto del dominio donde la imagen es menor se denomina mínimo absoluto.
    Una función puede tener más de un máximo o más de un mínimo locales.
    Periodicidad 

    A veces la gráfica de una función va repitiendo el mismo dibujo una y otra vez a medida que la x va aumentando. En este caso se dice que la función es periódica.

    La longitud, medida sobre el eje horizontal, del dibujo que se va repitiendo se denominaperíodo: cada vez que a un valor cualquiera de x se le suma el período se vuelve a obtener la misma imagen.







      FUNCIONES CUADRÁTICAS

      ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN
      1. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcula el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado. 
      2. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo:. La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno.
        3. Llama x a la anchura constante del camino.¿Cuál será el área A del camino?
        Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla.
        Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (x, A).
        Si el área del camino ha de ser de 30 m2 , utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino.
        ¿Para qué valor de x es A = 100?
        Actividad resuelta
      3. El director de un teatro estima que si cobra 30 €  por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.
        Observa la tabla:

        euros descuento

        0

        1

        2

        x


        30

        30-1

        30-2

        30-x

        Nº espectadores

        500

        500+100.1

        500+100.2

        500+ 100x

        Ingresos

        30.500

        (30-1)·(500+100.1)

        (30-2)·(500+100.2)

        (30-x)·(500+100.x)
        Los ingresos obtenidos son
        siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.
        Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .
        Las funciones f(x) = x2 + 6x,  g(x) = x2  + 16  y   G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000
        que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.
        Gráfica de las funciones cuadráticas
        La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
        x-3-2-1-0'500'5123
        f(x) = x29410'2500'25149
        Esta curva simétrica se llama parábola.
        Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.
        Dibujemos la gráfica de f(x) =  x2  -2 x - 3.
        x-101234
        f(x)0-3-4-305
        Completando la gráfica obtengo:
        Actividades resueltas

      4. Dada la parábola  y = x2  - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la figura:
        a.   Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir,  y = 3'5 2 - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).
        b.   Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.
        c.   El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 02 - 4·0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3).
        d.   D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:
        , que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0'45  y  x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).
        e.   Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x2 - 4x + 3 = 0 , cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).
        f.   Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto medio del segmento , es decir, . Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 22 - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).
        g.   Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo encima" de H.
        Como x = 5, entonces y = 52 - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H = (5,2).
        h.   Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está en la parábola "justo a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola ,  cuyas soluciones aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tienela misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).

      5. Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola
        y = x2 - x + 1 .
        a.   A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 02- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).
        b.   B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x2 - x + 1; 0 = x2- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).
        c.   La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es decir, . La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)2- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75).
        d.   Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto,
        y = 22-2+1=3. C = (2,3).
        Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax2 + bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.
        Obtención general del vértice
        Sea la parábola y = ax2 + bx + c
        Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema .
        Igualando:
        a x2 + b x + c = c → a x2  + b x = 0  → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.
        La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a
        Ejemplo
        Si  f(x) = x2 + 4 x + 3, entonces  y f(2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1).
        Actividad

      6. Dada la parábola  y =- x2 + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos indicados.
        Cortes con los ejes
        Observa las parábolas:
        a.    y = - x2 + 2x + 3
        Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x2 + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.
        Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).
        El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3).
        b.   y = x2 - 4x + 4
        Puntos de corte con el eje X:
        Resolviendo la ecuación x2 - 4x + 4 = 0, se obtiene como única solución x = 2, que nos proporciona un solo punto de corte con el eje X :(2,0).
        Punto de corte con el eje Y: (0,4).
        c.   y = x2 - 2x + 3
        Puntos de corte con el eje X:
        Si resolvemos la ecuación x2 - 2x + 3 = 0 obtenemos que . No existe solución y, por lo tanto, no tiene cortes con el eje X.
        Punto de corte con el eje Y: (0,3)
        Actividades

      7. Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:
        a.   y = 2x2 -14x + 24         b.   y = 5x2 - 10x + 5        c.   y = 6x2 + 12
        d.   y = 3(x - 2)(x + 5)        e.   y = 3(x - 2)2                f.   y = 3(x2 + 4)

      8. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).

      9. Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).

      10. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).

        Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas
        Parábolas del tipo y = ax2 (b = 0 , c = 0)
        Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V(0,0).
        Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola.
        Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.
        Un resultado importante
        La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2.
        Por ejemplo:
        La parábola y = 2x2-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x2; encajan perfectamente una encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos parábolas.
        Al someter la parábola y = 2x2-16x + 35 a una traslación de vector (4,3), que son las coordenadas de su vértice, obtenemos la parábola y = 2x2.
        Las parábolas y = ax2 + bx + c tienen la misma forma que las parábolas del tipo y = ax2.
        Actividad

      11. Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = 3x2 sobre la parábola y = 3x2- 9x + 4 .
        Parábolas del tipo y = ax2 + c , (b = 0)
        La gráfica de g(x) = 2x2 + 3, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x2 , desplazándola 3 unidades
        hacia arriba . El vértice se halla en V(0,3) .
        La gráfica de h(x) = x2 - 4 , se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = x2 , desplazándola 4 unidades hacia abajo.
        El nuevo vértice es V(0,-4) .
        Las parábolas del tipo y = ax2 + c, tienen exactamente la misma gráfica que y = ax2 , c unidades hacia arriba o hacia abajo , según el signo de c y, por lo tanto, su vértice es el punto V(0,c).
        Parábolas del tipo y = ax2 + bx , (c = 0)
        La gráfica de la parábola y = 2x2 - 4x pasa por el punto (0,0). La 1ª coordenada del vértice es -b/2a = 1.
        Sustituyendo, obtenemos que la 2ª coordenada del vértice es -2. Luego el vértice es V(1,-2). Utilizando la simetría de la parábola podemos obtener el punto (2,0).
         Si la parábola es del tipo y = ax2 + bx. entonces pasa por el origen de coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b, 0)
        Actividades

      12. Halla en cada caso la ecuación correspondiente a cada una de estas parábolas:
        Si la parábola no cumple estas dos condiciones (o no se tiene información de que esto ocurra), su ecuación se determina a partir de tres puntos dados.
        Actividad resuelta

      13. Halla la ecuación de la parábola que pasa por los puntos: A(-4,-5), B(-2,3) y C(3,-12).
        Como A es un punto de la parábola ha de cumplir su ecuación, es decir,
        -5 = a(-4)2 + b(-4) + c = 16a - 4b + c.
        De la misma manera, B(-2,3) ha de cumplir: 3 = a(-2)2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c.
        Y C(3,-12) : -12 = a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c.
        Obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 
        Para resolverlo, puedes utilizar este método general:
        Cambia el signo a alguna ecuación (por ejemplo a la 2ª) y súmala a las otras dos.
        Obtenemos así un sistema 2 x 2: cuyas solucione es a = -1 , b = -2.
        Sustituyendo estos valores en cualquier ecuación del sistema inicial, obtenemos c = 3.
        La parábola buscada es y = -x2 - 2x + 3.
        Represéntala gráficamente.
        Actividades

      14. Obtener la ecuación de la parábola que pasa por los puntos:
        A (3,7), B(1,-3) y C(-2,12).
        P(-4,-5), Q(0,3) y R(1,0).
        Representación gráfica de una parábola
        Actividades resueltas

      15. Dibuja la gráfica de y = x2  - 2x - 8
        Como a = 1 es positivo, la parábola tiene sus ramas hacia arriba.
        La 1ª coordenada del vértice es p = -b/2a = -(-2)/(2·1) = 1. Y la 2ª coordenada q = 1<2 - 2 · 1 - 8 = -9. Por tanto, el vértice es V(1,-9).
        Puedes hallar otros puntos de la parábola utilizando valores de x situados a la misma distancia de 1 por la izquierda y por la derecha.
        Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado: 0 = x2 - 2x - 8.
        Como sus soluciones son x = -2 y x = 4, los puntos de corte serán (-2,0) y (4,0).

      16. Dibuja la gráfica de y = 4x2 + 4x + 1.
        Como a = 4 es positivo la parábola tiene sus ramas hacia arriba.
        La 1ª coordenada del vértice es p = -b/(2a) = -4/2·4 = -0'5.
        Y la 2ª coordenada q = 4·(-0'5)2 + 4(-0'5) + 1 = 0. Luego el vértice es V(-0'5,0).
        Utilizando valores de x situados a la misma distancia de -0'5 por la izquierda y por la derecha:
                                                

      17. Dibuja la gráfica de  
        Como a = -1/2 es negativo, la parábola tiene sus ramas hacia abajo.
        La 1ª coordenada del vértice es  
        La segunda coordenada será:  .
        El vértice es, pues, V(2,-1)
        Utilizando valores de x situados a la misma distancia de 2 por la izquierda y por la derecha:
                                
        Resumiendo:
        Dada la parábola y = ax2 + bx + c, entonces:
        Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más cerrada, menos cerrada) depende del coeficiente a de x2 .
        Si a > 0, la forma es ^ y si a < 0, la forma es _.
        Cuando más grande sea │a│, más cerrada es la parábola.
        Existe un único corte con el eje Y, el punto (0,c) .
        Los cortes con el eje X, se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c = 0  y pueden ser dos, uno o ninguno.
        La 1ª coordenada del vértice V(p,q) es p = -b/2a.
        Actividades

      18. Determina el signo de los coeficientes de las siguientes parábolas:
        Resolución del caso 1 :
        a1 < 0 porque la parábola tiene sus ramas hacia abajo.
        La 1ª coordenada del vértice es negativa, es de decir -b1/2a1 < 0; luego -b1 > 0, o lo que es lo mismo, b1 < 0.
        El único corte con el eje Y es el punto (0,c1). Observando la gráfica c1 < 0.
        Estudia los otros casos.
        Dibuja una parábola y = ax2 + bx + c para cada caso según sea el signo de a, b y c:

        a

        b

        c

        1

        > 0

        > 0

        > 0

        2

        > 0

        > 0

        < 0

        3

        > 0

        < 0

        > 0

        4

        > 0

        < 0

        < 0

        5

        < 0

        > 0

        > 0

        6

        < 0

        > 0

        < 0

        7

        < 0

        < 0

        > 0

        8

        < 0

        < 0

        < 0

        Optimización
        Actividad resuelta

      19. El director de un teatro sabe que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores. Y que cada bajada de 1€ , le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del nº de bajadas del precio.
        Obtuvimos al principio del tema que las ganancias obtenidas son
        G(x) = (30-x)·(500+100.x) = -100 x2 + 2500x + 15000,
        siendo x el nº de bajadas de 1 €  en el precio de la entrada.
        Esta función es una parábola. Su forma es ∩ con lo cual el máximo beneficio teórico se alcanza en el vértice.
        La primera coordenada del vértice es:  .
        El número real de descuentos de  1 €  que garanticen un máximo de ganancias se obtienen para:
        x = 12 ( precio de , asisten 1.000 espectadores obteniendo unas ganancias de 30600  € )
        x = 13 ( precio de 1.000, asisten 1.100 espectadores obteniendo unas ganancias de 30600  €)
        Sería mejor aún rebajar 12'5 €, en cuyo caso las ganancias serían de  30625 €.

        Actividades

      20. Un hortelano posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno adosada a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?.

      21. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -4x2 + 8x. Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil.
        Intersección de recta y parábola
        Como los puntos comunes (si los hay) de una recta y una parábola han de verificar la ecuación de ambas, para obtenerlos, tendremos que resolver el sistema de ecuaciones formado por ellas.
        Actividades resueltas

      22. Estudiar la intersección de la recta y = -x + 2 y la parábola y = x2.
        Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones:
        x2 = x + 2 → x2 - x - 2 = 0. Las soluciones de esta ecuación son x 1 = 1 y x2 = -2.
        Si x1 = 1, entonces y1 = 1.
        Si x2 = -2, entonces y2 = 4.
        Por tanto, hay dos puntos de corte entre recta y parábola y tienen de coordenadas (1,1) y (-2,4), respectivamente.
        Se dice, entonces, que la recta y la parábola son secantes.

      23. Estudiar la intersección de la parábola y = -x2 con la recta y = -6x + 9 .
        El sistema tiene ahora una solución (3,-9).
        Por tanto, la recta y la parábola son tangentes.

      24. Estudiar la intersección de la parábola y = -x2 y la recta y = -x + 5.
        El sistema no tiene solución y, por tanto, la recta y la parábola no tienen ningún punto de corte.
        En consecuencia, las posiciones relativas de una recta y una parábola son:
        según que el sistema que forman sus ecuaciones tenga dos soluciones, una o ninguna.
        Actividad resuelta

      25. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2x2 + 4x. A 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x - 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.
        El punto de impacto se obtiene resolviendo el sistema  , que tiene dos soluciones:
        x1 = 6/4 = 1'5 (y1 = 3) y x2 = -1, que no tiene sentido para nuestro problema real. Es decir, el impacto se producirá en el punto (1'5,3).
        Actividad

      26. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la ecuación y = -x2 + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos.
        a.   Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros.
        b.   ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

        Área bajo de una curva
        Podemos estimar el área encerrada por una curva . Por ejemplo, esta gráfica corresponde a la parábola  y = 4x - x2  con x tomando valores desde 0 hasta 4.
        A partir de los punto marcados, y trazando perpendiculares al eje OX, obtenemos una serie de trapecios y triángulos , cuya suma de áreas se aproximará al área bajo la curva.
        Sólo necesitas recordar :
        Área del triángulo =; Área del trapecio = 
        En nuestro caso, , , y , cuya suma total proporciona un área aproximada de 10 unidades de superficie. Por supuesto podrías sólo calcular el área de A y B y multiplicando por dos obtener el área total)
        Actividad resuelta

      27. El techo de un hangar para aviones está diseñado de tal forma que se corresponde con la curva  con x tomando valores desde -20 hasta 20.
        Obtenemos para la función anterior esta tabla de valores:
        que nos proporciona la gráfica adjunta.
        La suma de estas áreas es de 690 m 2.
        El volumen del hangar se obtiene multiplicando el área del frontal (base) por la profundidad (altura).
        Actividades

      28. Dibuja la gráfica de  para valores de x desde 0 hasta 5.

      29. Este dibujo muestra una pieza de una máquina de bronce. La parte curva sigue la fórmula de la función anterior. Estima el volumen de bronce que necesitas para construir esta pieza.

      30. Un túnel de 100 m de largo ha de ser excavado. La boca del túnel está dada por la ecuación  con x desde 0 hasta 6. Estima el volumen de tierra y roca que hay que excavar para construir el túnel.






        10...................................... Teorema de Tales y aplicaciones.
        Teorema de Tales.
        Si varias rectas paralelas son cortadas por dos secantes r y s, los segmentos que determinan dichas paralelas en la recta r son proporcionales a los segmentos que determinan en s.




        Aplicaciones.
          El Teorema de Tales nos permite dividir un segmento en partes iguales (cinco en este caso).


        Se traza una semirrecta a partir de A. Sobre ella se marcan, con el compás, 5 segmentos iguales, de la longitud que se quiera. Se une la última marca con B y se trazan paralelas, una por cada marca de la semirrecta.

        Semejanza de figuras.
        Figuras semejantes.
         Dos figuras son semejantes si sus segmentos correspondientes, u homólogos, son proporcionales y sus ángulos iguales. Es decir; o son iguales, o tienen "la misma forma" y sólo se diferencian en su tamaño.
        Cada longitud en una de las figuras se obtiene multiplicando la longitud correspondiente en la otra por un número fijo que se llama razón de semejanza.
        Semejanza de figuras.
        Criterios de semejanza de triángulos.
        Un criterio de semejanza de dos triángulos es un conjunto de condiciones tales que, si se cumplen, podemos asegurar que los dos triángulos son semejantes.
        No es necesario comprobar que sus ángulos son iguales y que sus lados son proporcionales para saber si dos triángulos son semejantes. Es suficiente que se cumpla alguno de los siguientes criterios:
        Aplicaciones.
         La semejanza de figuras, y en particular la semejanza de triángulos, tiene muchas aplicaciones  prácticas. En este apartado se estudian:

        Relación entre las áreas.
         En el panel de productos de una famosa pizzería* se puede observar que la pizza familiar es el doble de ancha que la pequeña. Sin embargo, la pequeña es sólo parauna persona y la familiar para 4 personas:
        PIZZA FAMILAR (4 pers.)
        PIZZA PEQUEÑA (1 pers.)



        Ampliación, reducción y escalas.
        La semejanza de figuras nos permite hacer representaciones de objetos reales a un tamaño más grande (ampliaciones) o más pequeño (reducciones).

        En las representaciones de objetos la razón de semejanza recibe el nombre de factor de escala.
        El factor de escala es 200, Las dimensiones del salón en la realidad son 200 veces más grandes que en el plano.
        La escala se expresa en forma de cociente:
                                     1:200
        En este caso, 200 es la razón de semejanza o factor de escala. Las distancias representadas serán 200 veces más pequeñas que las reales. En un plano a escala 1:200 cada centímetro equivale a 200 centímetros en la realidad.
        En este mapa la escala es 1:14.000.000, lo que significa que cada centímetro equivale a 14.000.000 cm. en la realidad; es decir, 140 Km


        Teorema de Pitágoras
        El teorema de Pitágoras da una relación entre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo:
        a2 = b2 + c2

        En todo triángulo rectángulo se verifica que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
        Aplicaciones.
         El Teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones. En este apartado se estudian algunas:
        1.-Representación gráfica de números irracionales.
        2.-Cálculo de la diagonal de un rectángulo.
        3.-Cálculo de la altura de un triángulo isósceles.
        4.-Cálculo de la apotema de un hexágono regular.



        En todo triángulo rectángulo se verifica que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
        a2 = b2 + c2


        Teorema de Tales

        ¿Conoces el teorema de Tales? Observa en qué consiste este teorema con la siguiente animación:  
        El teorema de Tales afirma que los segmentos determinados por un haz de  rectas paralelas sobre otras dos que se cortan son proporcionales.

        Aplicando el teorema de Tales podemos dividir un segmento en un número cualquiera de partes. Obsérvalo en la siguiente animación:




        11..................................................La proporción



        Proporción o sección áurea

        Si dividimos un segmento en dos partes a y b, de modo que se cumpla (a+b)/a =a/b, se tiene una proporción áurea cuya razón a/b es conocida como número áureo, y tiene un valor aproximado de 1,618. Observa cómo se halla la sección áurea de un segmento: 


        A lo largo de la historia se ha utilizado la proporción áurea para crear objetos bellos y armónicos. Las pirámides de Keops guardan relación áurea, también el Partenón. 
        Observa por ejemplo que el Partenón contiene un rectángulo áureo: 



        AEFC es el rectángulo áureo para el cuadrado ABCD.

        Por ejemplo, en el Renacimiento se investigó mucho sobre el rectángulo áureo tanto en la composición como en su relación con el cuerpo humano, mientras que en el Barroco se optó por figuras y composiciones más alargadas o achatadas.
        Igualdad entre figuras: La traslación

        Dos figuras pueden tener entre sí una serie de relaciones geométricas atendiendo a su forma, a su tamaño o a su disposición. La relación más sencilla es la igualdad. 

        Una figura es igual a otra cuando todos sus ángulos y sus lados son iguales.  Existen diferentes procedimientos que nos permiten construir una figura igual a  otra: traslación, giro, triangulación, uso de ejes de coordenadas y copia de  ángulos.

        Comenzaremos estudiando la traslación: 

           TRASLACIÓN:

          Dada una figura, obtendremos una   igual que ella trasladando cada   vértice una misma distancia.












        Igualdad entre figuras: Triangulación y copia de ángulos

        En esta pantalla te mostramos cómo se realiza la triangulación y la copia de ángulos: 

          TRIANGULACIÓN:

          Este procedimiento consiste
          en descomponer la figura en   triángulos y trazar copias de   los mismos.
          Esto es posible porque el   triángulo es el polígono más   simple y se puede copiar de   manera sencilla.
          COPIA DE ÁNGULOS:

          Este procedimiento es   análogo a la traslación de los   vértices, solo que ahora, en   lugar de estos, se
          transportan los ángulos.
























        Simetría axial, central y radial

        La simetría es una relación de igualdad entre dos figuras, en la que cada punto se corresponde con otro de modo que ambos equidistan de un eje (simetría axial), de un centro (simetría central), o de un plano (simetría radial). 

        SIMETRÍA AXIAL:

        Dos puntos simétricos A y A´ están situados en la misma recta, que será perpendicular
        al eje de simetría, y son equidistantes respecto a este.
        SIMETRÍA CENTRAL:

        Dos puntos simétricos A y A´ están situados sobre una recta que obligatoriamente pasa por el centro de simetría y equidistan de él.

        SIMETRÍA RADIAL:

        • En figuras planas se establece cuando dos o más ejes de simetría se cortan en el mismo punto, que es el centro de simetría, y dividen al plano en partes iguales.

        • En figuras espaciales se presenta cuando una figura espacial puede ser dividida en dos o más planos que se cortan en un eje de simetría.






























        Semejanza

        Dos figuras son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son iguales, y sus lados correspondientes, proporcionales. Observa estos dos procedimientos para obtener figuras semejantes: 

        RADIACIÓN DESDE UN VÉRTICE:

        Cuando las dos figuras tienen un vértice común.

        Dada una figura:
        - Elegimos el vértice que queremos que sea semejante con la figura que vamos a hallar.
        - De ese vértice parten unos rayos que pasarán por cada uno de los demás vértices.
        - Los lados serán paralelos a los de la figura inicial.
        RADIACIÓN DESDE UN PUNTO EXTERIOR:

        En este caso las dos figuras no tienen un vértice común ya que el punto del que parten es exterior. El procedimiento por el que se obtiene la figura semejante es similar al anterior.


        Claes Oldenburg es un artista pop que en sus obras utiliza objetos cotidianos pero a una escala desproporcionada, mitificando así estos objetos. 
        Escalas. Escala volante y contraescala

        Es habitual utilizar las representaciones proporcionales en mapas, planos, dibujos de piezas… En estos casos, a la razón de proporcionalidad la denominamos escala: 

        Escala = medidas de la figura en el dibujo : medidas de la figura en la realidad




        Una unidad del dibujo representa una unidad en la realidad.Dos unidades del dibujo representan una unidad en la realidadUna unidad del dibujo representa dos unidades en la realidad

        Si queremos realizar algún dibujo a escala, lo más cómodo para no tener que calcular matemáticamente cada una de las medidas que vayamos a utilizar, es construirse unaescala volante. De esta manera cada unidad de lo que queramos representar se corresponderá con una unidad de nuestra escala volante. 

        Para construir una escala volante utilizamos el teorema de Tales que nos permite dividir un segmento en partes iguales. 



        Escala volante para la proporción de reducción 4:7Escala volante para la proporción de ampliación 7:4


        La contraescala se utiliza para dibujar medidas decimales. Se construye dividiendo una unidad de la escala volante en diez partes iguales utilizando el teorema de Tales.







        • Geoclic (Paquete de actividades para trabajar toda la geometrías que veremos)
        • Geometría (repaso de los conceptos básicos, teoremas de Thales y Pitágoras)







        12 ..................................ESTADÍSTICA

        1.Hacer estadística

        Necesidad.

        Al poner en práctica una medida social para saber su aceptación. ¿A cuántas personas puede ir dirigida?, ¿cuáles son los distintos niveles?. Frente a una iniciativa como esta, preguntar a toda la población puede agotar los recursos destinados a ella, una encuesta previa puede ahorrarnos algún que otro equívoco.

        Población y muestraCuando se hace un estudio estadístico el investigador decide si analizará toda la población o una muestra elegida previamente.
        Población es el conjunto de individuos, con alguna característica común, sobre el que se hace un estudio estadístico.

        La muestra es un subconjunto de la población. Debe elegirse de forma que sea representativa de toda la población en la característica estudiada.

        Atributos y variablesCada una de las propiedades o características que podemos estudiar es una variable estadística. Dependiendo de los posibles valores que puedan tomar se clasifican en:

      1. Variables cualitativas o atributos. Los valores de la variable no son números sino cualidades, se expresan con palabras.El color, la forma, el sexo,...son ejemplos de variables cualitativas.
      2. Variables cuantitativas. Los datos se expresan numéricamente y pueden ser:

        • Discretas. Cada una de las variables solo puede tomar valores enteros (1, 2, 3...). 
          El nº de hermanos, el nº ventanas de casa, el nº colegios de tu población,...
        • Continuas. Pueden tomar cualquier valor de un intervalo dado.Nuestro peso, altura, fuerza, no es posible medirlas con números enteros, la densidad del aire, la velocidad media de los fórmula 1 en una carrera,..

        2.Tablas y gráficos
        Recuento de datos.Es parte del proceso, después de recopilar los datos se procede a su recuento para expresarlos de forma ordenada y para que sea más fácil trabajar con ellos. Generalmente se elabora una tabla como en la simulación de la derecha donde puedes practicar.
        • Frecuencia absoluta, es el nº de veces que aparece un dato. A la de xi la llamaremos fi.
        • Frecuencia relativa, es el cociente entre la frecuencia absoluta y el nº total de datos.
        • Frecuencia acumulada de un dato, es la suma de las frecuencias absolutas de los valores que son menores o iguales que él, la indicaremos con Fi.
          También se pueden calcular las frecuencias relativas acumuladas.
        Diagramas de barras y de sectores
        Los datos estadísticos suelen representarse de forma gráfica, ya que de esta forma podemos hacernos una idea de su distribución de un solo golpe de vista. En función del tipo de variable conviene más usar un tipo de gráfico u otro.
        • Diagrama de sectores, puede aplicarse a cualquier tipo de variable, aunque es el más adecuado en variables cualitativas y para una primera toma de contacto con los valores de una población. Es un círculo dividido en sectores de ángulo proporcional a la frecuencia de cada valor. La amplitud de cada sector se obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 360º.
        • Diagrama de barras. También puede aplicarse a cualquier tipo de variable, aunque se considera el idóneo para variables discretas. Cada valor se corresponde con una barra de longitud proporcional a su frecuencia.

        Agrupación de datos en intervalosEn variables continuas, o en discretas cuando el número de datos distintos se hace casi tan grande como el número de datos, y para poder estudiarlos, se hace necesario agruparlos enintervalos o clases, habitualmente de la misma amplitud y como mínimo 4.Por ejemplo, en una población hay casi tantas alturas como individuos pero podemos agruparlos en bajos, medios y altos; también podríamos hacer bajos, medios-bajos, medios-altos y altos, o clasificarlos de 10 en 10 cm, o de 20 en 20...
        • Para representar a todos los datos de un intervalo elegimos un valor, el punto medio del intervalo, se llama marca de clase.
        Cuando los datos vienen agrupados en intervalos se usa para representarlos gráficamente elhistograma. Cada valor se representa con un rectángulo de anchura el intervalo correspondiente y con la altura proporcional a su frecuencia. 


        3. Medidas de centralización y posición
        La mediaTodos los alumnos saben que con un 6 y un 4 tienen de media 5. Pues la media en estadística no es otra cosa que eso, solo que, habitualmente, con más datos.
        Para calcular la media si son pocos los datos, se suman todos y se divide entre el número total. Si son muchos, los tendremos agrupados, entonces se suman los productos de cada dato por su frecuencia absoluta y se divide esta suma por el número total de datos. Se indica con x.



        La moda
        ¿Quién no ha oído alguna vez: "Está de moda ir a...", "Se lleva este tipo de pantalón, está de moda", o "Se ha puesto de moda el grupo"..., y todo el mundo entiende que hay una buena cantidad de personas en esas opciones. Así pues, el valor que más frecuencia tenga será"el de moda", aunque puede ocurrir que haya más de uno.


        La moda, Mo, de una distribución estadística es el valor de la variable que más se repite, el de mayor frecuencia absoluta.

        La mediana y los cuartiles 
        La mediana y los cuartiles, como la media aritmética, sólo se pueden calcular cuando la variable es cuantitativa.

        La mediana, Me, es el valor que ocupa la posición central una vez ordenados los datos en orden creciente, es decir, el valor que es mayor que el 50% y menor que el otro 50%.

        La mediana divide la distribución en dos partes con igual nº de datos, si la dividimos en cuatro partes obtenemos los cuartiles, 1º, 2º y 3º, que se indican respectivamente Q1, Q2 y Q3.
        Ordenados los datos, el primer cuartil, es mayor que el 25% de estos; el tercer cuartil, mayor que el 75%, y el segundo coincide con la mediana.


        4. Medidas de dispersión

        Rango y Desviación media

        Las medidas de dispersión indican si los datos están más o menos agrupados respecto de las medidas de centralización.
        • Rango o recorrido, es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable, indica la longitud del intervalo en el que se hallan todos los datos.
        Aunque el rango da una información importante, resulta más interesante calcular cuánto se desvían en promedio los datos de la media.
        Desviación media, es la media de los valores absolutos de las diferencias entre la media y los diferentes datos.



        Varianza y desviación típica

        Es otra forma de medir si los datos están o no próximos a la media y es la más utilizada.

        • La varianza es la media de los cuadrados de las desviaciones.
        • La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza.


        Es importante que entiendas el significado de estas medidas, cuanto mayores sean más dispersos estarán los datos.

        Los intervalos alrededor de la media de amplitud 2 o 4 veces la desviación típica, tienen mucha importancia en estadística por el porcentaje de datos que hay en ellos. En el último punto de la escena puedes observar esto.


        Coeficiente de variación
        Es el cociente entre la desviación típica y la media, se utiliza para comparar las dispersiones de datos de distinta media.Por ejemplo, para 4 y 6, CV=1/5=0,2 y para 101 y 99 es CV=1/100=0.01. En ambos casos la desviación típica es la misma, pero en relación a la media es más importante en el primero. 

        • Tema completo ED@D












        FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS


        1. Poliedros regulares
        Definiciones
        Diremos que un poliedro es regular cuando se cumplen las siguientes condiciones:
        • Sus caras son polígonos regulares iguales.
        • En cada vértice concurren el mismo número de caras.

        Sólo hay cinco poliedros regulares (llamados también Sólidos Platónicos):

        • Tetraedro: 4 caras (triángulos equiláteros)
        • Hexaedro o cubo: 6 caras (cuadrados)
        • Octaedro: 8 caras (triángulos equiláteros)
        • Dodecaedro: 12 caras (pentágonos regulares)
        • Icosaedro: 20 caras (triángulos equiláteros)
        Desarrollos
        Se dice que un cuerpo geométrico esdesarrollable cuando puede ser construido a partir de una figura plana formada por todas las caras del cuerpo.
        Todos los poliedros regulares son desarrollables y en este apartado te mostramos las figuras que permiten su construcción.

        Poliedros duales
        Se dice que dos poliedros son duales si el número de vértices del primero coincide con el número de caras del segundo y viceversa. Además ambos deben tener el mismo número de aristas.
        Si dos poliedros son duales puede construirse uno a partir del otro uniendo con segmentos los centros de cada dos caras contiguas del primero.


        2. Otros poliedros
        Prismas
        Un prisma es un poliedro con dos caras paralelas formadas por polígonos iguales cuyos lados se unen mediante paralelogramos. Las caras paralelas son las bases y los paralelogramos son los lados.
        • Si los lados son rectángulos es unprisma recto, en caso contrario es unprisma oblicuo.
        • Si las bases son paralelogramos es unparalelepípedo y si las bases y los lados son rectángulos es un ortoedro.
        • Si las bases de un prisma recto son polígonos regulares decimos que es unprisma regular.

        Pirámides
        Una pirámide es un poliedro con una cara formada por un polígono cualquiera sobre cuyos lados se levantan triángulos que se unen en un punto común. El polígono es la base de la pirámide, los triángulos son los lados y el punto común es el vértice.
        Si el vértice se proyecta verticalmente sobre el centro de la base es una pirámide recta, en caso contrario es una pirámide oblicua.
        Si la base de una pirámide recta es un polígono regular decimos que es una pirámide regular. En ese caso los lados son triángulos isósceles y todos iguales. El tetraedro es un caso particular de pirámide.


        Poliedros semirregulares
        Un poliedro semirregular es un poliedro cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos, de forma que en cada vértice concurren los mismos polígonos (en número y en tipo).
        Se pueden obtener con cierta facilidad poliedros semirregulares a partir de los poliedros regulares mediante la técnica del truncamiento.
        Truncar un poliedro consiste en suprimir uno de sus vértices mediante la aplicación de un corte plano.

         3.Cuerpos de revolución
        Cilindros
        Un cilindro es un cuerpo generado por un segmento (generatriz) al girar alrededor de una recta paralela al mismo (eje). El cilindro es un cuerpo desarrollable.
        Un cilindro tiene 3 caras: dos de ellas son círculos paralelos e iguales (bases) y la otra es una cara curva (cara lateral) que desarrollada se transforma en un rectángulo.
        El radio del cilindro es el radio de cualquiera de sus bases y la altura del cilindro es la longitud de la generatriz.
        La cara lateral desarrollada es un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia que rodea la base y cuya altura es la generatriz.


        Conos
        Un cono es un cuerpo generado por un segmento (generatriz) al girar alrededor de una recta sobre la que se apoya uno de sus extremos (eje). El cono es un cuerpo desarrollable.
        Un cono tiene 2 caras: un círculo (base) y una cara curva (cara lateral) que desarrollada se transforma en un sector circular.
        El punto de apoyo de la generatriz sobre el eje es el vértice del cono. El radio del cono es el radio de su base y la altura del cono es la distancia del vértice al centro de la base.
        La cara lateral desarrollada es un sector circular cuyo radio es la generatriz y cuya amplitud es la longitud de la circunferencia de la base.

        Esferas
        Una esfera es un cuerpo generado por un círculo al girar alrededor de cualquiera de sus diámetros.
        El radio de una esfera es el mismo que el radio del círculo que la engendra y coincide con la distancia del centro de la esfera a cualquiera de los puntos de su superficie. Esta propiedad caracteriza a la esfera: la esfera es el conjunto de puntos del espacio que equidistan de un punto fijo, llamado centro.
        Las esferas no son desarrollables. Por ese motivo la elaboración de mapas es un problema importante. Analizaremos este problema con más detalle en el último capítulo.
        4. La esfera terrestre
        Coordenadas geográficas
        La Tierra tiene una forma casi esférica. Gira sobre una línea llamada eje. Los puntos en los que el eje corta a la superficie de la Tierra son los polos geográficos.
        Los planos que contienen al eje cortan a la Tierra en círculos máximos cuyos bordes son circunferencias llamadas meridianos
        El plano perpendicular al eje que pasa por el centro de la Tierra la corta en un círculo máximo cuyo borde es el Ecuador. Los planos paralelos al plano del Ecuador cortan a la Tierra en círculos que ya no son máximos. Sus bordes son los paralelos.

        Husos horarios
        Un día es el tiempo que tarda la Tierra en girar sobre sí misma. Así, en cualquier punto esmediodía cuando el Sol pasa por el meridiano del lugar. Esto hace que incluso localidades cercanas tengan horas distintas.
        Para evitar este problema se ha dividido la Tierra en 24 zonas que tienen la misma hora. Esas zonas se establecen así: Centrado en el meridiano 0º se forma un huso esférico de 15º (360º:24h=15º). En todos los puntos de este huso será mediodía cuando el Sol pase por el meridiano 0º. A partir de él con giros de 15º se forman los otros 23 husos horarios. El Sol tarda una hora en cruzar cada huso.


        Movimientos en el plano


        1. Vectores
        Vectores equipolentes
        Dos vectores  y  se llaman EQUIPOLENTES si tienen el mismo módulo, la misma direccióny el mismo sentido. Observa que parece que el vector  se ha trasladado paralelamente a sí mismo hasta ocupar la posición del vector . 

          Observa que si los vectores  y  son equipolentes, el polígono ABDCA es un paralelogramo.


        Suma de vectores
        La suma de dos vectores,  y , es otro vector, , que podemos construir de dos formas:
        Figura 1: Situando los vectores  y  con origen en el mismo punto. El vector  queda entonces sobre la diagonal mayor del paralelogramo construido sobre los vectores sumandos. 
        Figura 2: Haciendo coincidir el origen del vector  con el extremo de . El vector tiene como origen el origen de  y como extremo el de . 


        Coordenadas de un vector
        Un vector  está determinado por dos puntos del plano, A(x1,y1) que es su ORIGEN y B(x2,y2) que es su EXTREMO. Las coordenadas de  son las de B menos las de A: (x2 - x1 , y2 - y1) 

        Un vector tiene MÓDULO que es la distancia entre el origen y el extremo, DIRECCIÓN que es la recta que pasa por origen y extremo o cualquier recta paralela a ella y SENTIDO que es el que va desde el origen hacia el extremo y lo marca la flecha.


        • 2. Traslaciones
          Traslación según un vector
          Una traslación de vector  es un movimiento que transforma cada punto A del plano, en otro punto B de manera que el vector  es igual al vector  

             Una traslación es un movimiento directo(conserva la orientación) e isomorfo (no cambia la forma de las figuras)

          Composición de traslaciones
          Dos traslaciones, de vectores  y , se pueden componer para formar una traslación de vector  
          Mediante la composición de traslaciones es posible componer interesantes frisos ocenefas. En la escena de la derecha puedes observar algunos.
          Giro de centro O y ángulo α
          Un giro, de centro un punto O y amplitud un ángulo α, transforma cada punto P del plano en otro punto P' de modo que el ángulo POP' es igual a α y las distancias OP y OP' son iguales.
          Debes tener en cuenta que un giro puede tener orientación positiva (contraria a las agujas del reloj) o negativa.






          3. Giros
          Simetría respecto a un punto
          Una simetría central, o simetría respecto a un punto O, es un giro de centro O y amplitud 180º. Transforma pues, cada punto P en otro punto P' de modo que el ángulo POP' es igual a 180º y las distancias OP y OP' son iguales.
          Si al aplicar a una figura una simetría de centro O la figura no varía, O se dice que es sucentro de simetría.


          Figuras invariantes de orden n
          Si al girar una figura con centro en un punto O y según un ángulo menor que 360º, coincide con si misma, el punto O se dice que es centro de giro de la figura.
          Si al aplicar a una figura un giro de 360º alrededor de su centro de giro se producen n coincidencias, dicho centro se dice de orden ny la figura invariante de orden n.


          4. Simetría axial
          Simetría de eje e
          Una simetría respecto a un eje e es un movimiento que transforma cada punto P del plano en otro P' de modo que la recta e es mediatriz del segmento de extremos P y P'.
          Según esta definición, debe cumplirse que:
          • La recta e debe ser perpendicular al segmento PP'
          • La distancia de P a la recta e será igual que la distancia de P' a dicha recta.

            Una simetría axial es un movimiento inverso. Observa en la escena cómo se modifica el sentido de giro de la figura.

          Figuras con eje de simetría
          Hay figuras que son invariantes (no se modifican) al aplicarles una simetría axial. En ese caso, el eje de la misma se llama eje de simetría de la figura. Fíjate en el ejemplo inferior.
           
             Una figura puede tener varios ejes de simetría. Observa el hexágono de la escena de la derecha y algunos de sus ejes de simetría.

          Composición de simetrías axiales
          La aplicación consecutiva de dos simetrías axiales, de ejes e y e', da lugar a un nuevo movimiento que depende de la situación relativa de los ejes e y e':
           
          • Si los ejes e y e' son paralelos, el resultado es una traslación.
          • Si los ejes e y e' se cortan en un punto, la composición da lugar a un giro alrededor de dicho punto.

          Como tanto una traslación como un giro son movimientos directos, el resultado decomponer dos simetrías axiales es unmovimiento directo.


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        Geometría del plano









        3º ESO: 

        Podéis empezar con el vídeo de Les Luthier sobre el Teorema de Thales


        También puede veniros bien
        Os dejo las autovaluaciones interactivas en la página CURSOS y todos los enlaces del curso pasado pinchando en la imagen (encontraréis muchos y muy variados)
         
        Los apuntes que os comenté en clase con los conceptos básicos anteriores necesarios los tenéis aquí


        m




















        http://tuprofedematesmaria.blogspot.com.es/search/label/3%C2%BA%20ESO

        Au
        http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena10/index3_10.htm

        http://www.edistribucion.es/anayaeducacion/8440033/recursos_U07.htmlAnaya digital
        utilidad de las funciones y sus gráficas. 

        interpretación























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        Gracias por su colaboración

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