Concepto y tabla de valores
Una función es una relación de causa-efecto entre dos cantidades matemáticas: a iguales causas, iguales efectos.
La causa se denomina variable independiente y se denota con la letra x. El efecto es la variable dependiente, que se indica con la letra y.
Frecuentemente, en lugar de la letra y se utiliza la expresión f(x) (o g(x), ...) para dar a entender que y efectivamentedepende del valor de x.
| 1. Relaciones funcionales |
|
Gráfica de una función
Para obtener la gráfica de una función a partir de la tabla de valores primero se dibujan unos ejes de coordenadas, representándose los valores de la variable independiente (x) en el eje horizontal (abscisas) y los de la variable dependiente (y) en el vertical (ordenadas).
Cada pareja de valores de las variables dependiente e independiente se representa mediante un punto (x,y) en el sistema de coordenadas.
Los puntos dibujados se unirán si la variable independiente puede tomar cualquier valor real en el rango estudiado: la línea (recta o curva) que resulta es la gráfica de la función.
Imagen y antiimagen
Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es laimagen de x y también que x es laantiimagen de y.
Es fácil hallar imágenes y antiimágenes viendo la gráfica de la relación funcional. Así se puede reproducir la tabla de valores a partir de la gráfica de la función.
Expresión algebraica
Se trata de una fórmula que permite obtener el valor de y cuando se sabe el valor de xrealizando operaciones algebraicas. Es, por lo tanto, una manera de obtener imágenes de valores de la variable independiente sin tener que recurrir a la gráfica de la función.
Es sencillo obtener la tabla de valores de una función a partir de su expresión algebraica o analítica: no hay más que ir dando valores a x y calcular los valores de ycorrespondientes. Así los tres elementos de una relación funcional (tabla de valores, gráfica y expresión algebraica) están interconectados.
Cuando se conoce la expresión algebraica de una función también se pueden obtener analíticamente las antiimágenes de un valor de y resolviendo una ecuación.
Relaciones que no son funcionales
En una relación funcional un valor de x sólo debe tener, como máximo, una imagen. No puede ser que una causa dé dos efectos diferentes.
En cambio, un mismo efecto puede proceder de diversas causas: un valor de y puede tener más de una antiimagen, o no tener ninguna.
Las relaciones estadísticas son situaciones en las que, aunque no se puede predecir exactamente cuál será la imagen de un valor de x (no son, por lo tanto, relaciones funcionales), sí que se puede dar una estimación de este valor.
| 2. Características de una función |
|
Dominio y recorrido
El dominio de una función es el conjunto de valores de x que tienen imagen.
El recorrido o imagen es el conjunto de valores de y que son imagen de algún valor de x perteneciente al dominio.
Continuidad
A veces, la gráfica de una función puede dar un salto en vertical en algún punto de su dominio. En ese punto se dice que la función no es continua.
Por lo tanto, una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin necesidad de levantar el lápiz del papel en ningún momento.
Los puntos donde la gráfica da un salto se denominan discontinuidades de la función.
Puntos de corte con los ejes
El punto donde la gráfica corta el eje deordenadas es de la forma (0,y0), donde y0es la imagen de 0.
El punto (o los puntos) de corte con el eje de abscisas son de la forma (x0,0), dondex0 es la antiimagen (o antiimágenes) de 0.
• Para encontrar y0 se hace x=0 en la expresión de la función y se calcula y.
• Para hallar x0 se sustituye y por 0 en la expresión de la función y se aisla x.
|
Si el cero está en el dominio de la función, entonces hay punto de corte con el eje de ordenadas y este es único. Habrá punto de corte con el eje de abscisas si el cero está en el recorrido de la función, en ese caso puede suceder que haya más de uno.
Crecimiento y decrecimiento
Se dice que una función es creciente en un punto si, alrededor de ese punto, cuando la xaumenta también aumenta la y.
Y será decreciente si al aumentar la xdisminuye el valor de y.
Si una función es creciente en un punto entonces, alrededor de él, la gráfica, vista de izquierda a derecha, asciende. Si desciende, es que es decreciente. Si la función toma el mismo valor alrededor de un punto (la gráfica se mantiene sin subir ni bajar), entonces se dice que allí la función es constante.
Una función puede ser creciente en un conjunto de puntos de su dominio y decreciente en otros. Si sólo crece o sólo decrece entonces se denomina funciónmonótona.
Máximos y mínimos
Un máximo local (o relativo) es un punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente. Ese punto no tiene por qué ser el punto más alto de la gráfica de la función. Este último (si es que existe) se denominamáximo absoluto.
De manera similar, en un punto donde la función pasa de decrecer a crecer se dice que hay un mínimo local. El punto del dominio donde la imagen es menor se denomina mínimo absoluto.
Una función puede tener más de un máximo o más de un mínimo locales.
Periodicidad
A veces la gráfica de una función va repitiendo el mismo dibujo una y otra vez a medida que la x va aumentando. En este caso se dice que la función es periódica.
La longitud, medida sobre el eje horizontal, del dibujo que se va repitiendo se denominaperíodo: cada vez que a un valor cualquiera de x se le suma el período se vuelve a obtener la misma imagen.
|
|
|
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por su colaboración