3º E.S.O.: Progresiones aritmeticas y geométricas.Ejercicios interactivos. Teoría

viernes, 30 de marzo de 2018

Progresiones aritmeticas y geométricas.Ejercicios interactivos. Teoría

Tema 5........................................... Progresiones aritméticas y geométricas

1. Sucesiones
Definición.
Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales:a1, a2, a3, a4, a5, a6, ...
Cada elemento de la sucesión se llama término de la sucesión. Para designarlos se emplean subíndices.
Los términos de las sucesiones se pueden determinar a partir de cierto criterio, este criterio se denomina regla de formación.

Término general
El término general de una sucesión es el que ocupa un lugar cualquiera, n, de la misma, se escribe an
• Hay sucesiones cuyo término general es una expresión algebraica, que nos permite saber cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar que ocupa, n.
• En otras, cada término se obtiene a partir de los anteriores, se dice que están dadas en forma recurrente. Una relación de recurrencia es una expresión algebraica, que expresa el término n en
función de los anteriores.

4, 7, 10, 13,…
Primer término: a1=4
Segundo término: a2=7
Tercer término: a3=10
Cuarto término: a4=13
Cada término se obtiene del
anterior sumándole 3.
a2 = a1 + 3 = 4 + 3 = 7
a3 = a2 + 3 = 7 + 3 = 10
a4 = a3 + 3 = 10 + 3 = 13
4, 8, 12, 16,…
Cada término se obtiene
multiplicando el lugar que ocupa
por 4
a1 = 1·4 = 4 a2 = 2·4 = 8
a3 = 3·4 = 12 a4 = 4·4 = 16

2. Progresiones Aritméticas
Definición
Una progresión aritmética es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene sumando al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia de la progresión.
• Si d>0 los números cada vez son mayores, se dice que la progresión es creciente.
• Si d<0 los números cada vez son menores, se
dice que la progresión es decreciente

Término general
En una progresión aritmética cada término es igual al anterior más la diferencia. Observa:
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2·d
a4 = a3 + d = a1 + 2·d + d = a1 + 3·d
a5 = a4 + d = a1 + 3·d + d = a1 + 4·d

y siguiendo así sucesivamente, se llega a:
an = a1 + (n-1)·d
El término general de una progresión aritmética es:

donde a1 es el primer término y d la diferencia.

Suma de n términos
En una progresión aritmética finita de n términos, la suma de términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de ellos:
a1+an = a2+an-1= a3+an-2 = …
A partir de esta propiedad se obtiene que la suma Sn= a1+a2+.......+an de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

Actividad interactiva
EJERCICIOS DE PROGRESIONES
PROGRESIONES ARITMETICAS
1. Hallar los términos que se indican de las siguientes progresiones aritméticas:
a) El término 20 en: 1, 6, 11, 16... b) El término 6 en: 3, 7, 11, 15...
c) El 12 en: -4, 0, 4, 8... d) El término 10 en: 2, 5, 8, 11...
Sol: a) 96; b) 23; c) 40; d) 29
2. Halla los términos a4, a7, a2, a10 de las siguientes sucesiones:
a) an = 3n-2 b) an = n
2
-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
Sol: a) a4=10, a7=19, a2=4; a10=28; b) a4=15, a7=48, a2=3; a10=99
c) a4=13, a7=25, a2=5; a10=37; b) a4=11, a7=17, a2=7; a10=23
3. Hallar el término a10 en una progresión aritmética en la que a1 = 5 y la diferencia es
d = -3.
Sol: -22
4. Calcula el término general de las siguientes sucesiones:
a) -1,1,3,5,7,9 b) 3,6,9,12,15,18
c) 5,6,7,8,9 d) -2,0,2,4,6
Sol: a) 2n-3; b) 3n; c) n+4; d) 2n-4
5. Completa la siguiente tabla:
a1 a2 a3 a4 a5 a6 an
1 3 5
4 16 19
10 13 16
Sol: 7,9,11,2n-1; 7,10,13,...,3n+1; 1,4,7,...,3n-2
6. Calcula el primer término de una progresión aritmética que consta de 10 términos, si
se sabe que el último es 34 y la diferencia es 3. Sol: 7
7. En una progresión aritmética a12 = -7 y d = -2. Hallar a1
Sol: 15
8. En una progresión aritmética a20 = -33 y a12 = -28, hallar a1 y d.
Sol: a1 = 5; d = -3
I.E.S. Arroyo de la Miel Dpto de Matemáticas9. En una progresión aritmética d = 5 y a25 = 110, hallar a20.
Sol: a20 = 85
10. ¿Cuántos términos tiene una progresión artimética cuyo primer término es 8 y el
último 36, si se sabe que la diferencia es 2. Sol: 15
11. Interpola los términos que se indican en cada apartado:
a) cuatro entre 7 y 17
b) cinco entre 32 y 14
c) Seis entre -18 y 17
Sol: a) 9, 11, 13, 15; b) 29, 26, 23, 20, 17; c) -13, -8, -3, 2, 7, 12
12. Interpolar los términos que se indican, de modo que resulte una progresión
aritmética:
a) Cuatro términos entre 15 y 30 b) Cuatro términos entre 15 y 5
c) Seis términos entre 3 y 38 d) Cinco términos entre 1 y 25
Sol: a) d = 3; b) d = -2; c) d = 5; d) d = 4
13. Si entre los números 8 y 16 hay tres medios aritméticos. ¿Cuál es la diferencia?
Sol: 2
14. Calcula la diferencia de la progresión aritmética, sabiendo que entre 12 y 52 hay
tres medios aritméticos.
Sol: 10
15. Calcula el término a15 de una progresión aritmética donde el primer término es 3 y
la diferencia 5. Sol: a15 = 73
16. Halla la suma de los términos de una progresión aritmética en los siguientes casos:
a) De los 10 primeros términos de: 1, 6, 11...
b) de los 20 primeros términos de: 22, 23, 24...
c) De los 30 primeros términos de: 1/2, 3/4, 1...
Sol: a) a10=46, S=235; b) a20=41, S=630; c) a30=31/4, S=495/4.
17. Halla la suma de los 12 primeros términos de una progresión aritmética sabiendo
que a3 = 7 y a10 = 21.
Sol: S = 168.
18. Halla la suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética sabiendo
que a1 = 7 y a10 = 52.
Sol: S = 295.
19. Halla la suma de los 100 primeros números naturales: 1, 2, 3, ...., 1000.
Sol: 5050
20. Halla la suma de los números pares: 2, 4, 6, ..., 100.
I.E.S. Arroyo de la Miel Dpto de MatemáticasSol: 2525
21. Halla las expresión del n-ésimo número par y la suma de los n primeros números
pares:
Sol: a) 2n; b) (1+n)n
22. Halla la expresión del n-ésimo número impar y la suma de los n primeros números
impares.
Sol: a) 2n-1; b) n2
.
23. Halla la expresión del n-ésimo múltiplo de 3 y la suma de los n primeros números.
Sol: a) 3n; b) [(3+3n)n]/2
24. Halla la suma de todos los números impares de dos cifras.
Sol: 2475
25. ¿Cuantos términos hay que sumar de la progresión aritmética 4, 8, 12,... para
obtener como resultado 220.
Sol: 10
26. La suma de los términos de una progresión aritmética limitada es 169 y su término
central vale 13. Hallar el número de términos de la progresión.
Sol: n = 13
27. La suma de x números naturales consecutivos tomados a partir de 35 es 1820.
Calcular x.
Sol: x = 35
28. ¿Cuántos números impares consecutivos a partir de 1 es preciso tomar para que su
suma sea igual a 1482?.
Sol: 39
29. Calcula la suma de los 50 primeros números pares.
Sol: S = 2550
30. Si consideramos 9 términos consecutivos de una progresión aritmética, a5 = 27, a7
= 39. Halla la suma de los 9 términos.
Sol: 243
31. Se consideran 12 términos consecutivos de una progresión aritmética. La diferencia
de los dos extremos es 55, y la suma del cuarto y octavo 56. Halla los extremos.
Sol: a1 = 3, a16 = 58.
32. Se consideran 10 términos consecutivos de una progresión aritmética. Los dos
extremos suman 22 y el producto del tercero y el cuarto es 48. Halla los términos de la
progresión.
I.E.S. Arroyo de la Miel Dpto de MatemáticasSol: d = 2, sucesión: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
33. La suma de tres números en progresión aritmética es 24 y su producto 440. Halla
estos números.
Sol: 5, 8, 1

Test progresiones
Test 1,2,3,4

Test

Test Jclic

Crear sucesiones

3. Progresiones Geométricas
Definición
Una progresión geométrica es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la progresión.
La razón se obtiene al hacer el cociente entre dos términos consecutivos:

Término General
En una progresión geométrica cada término es igual al anterior por la razón. Observa:
a2 = a1·r a3 = a2·r = a1·r2

a4 = a3·r = a1 ·r2 = a1 ·r3

y siguiendo así sucesivamente, se llega a:
El término general de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 y la razón es r es

Suma de n términos
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es:

Suma de todos los términos
La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón r, es:

Producto de n términos
En una progresión geométrica el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual al producto de ellos: a1·an = a2·an-1= a3·an-2 = …

A partir de esta propiedad se obtiene que el producto de los n primeros términos de una progresión
geométrica es:

Ejercicios
PROGRESIONES GEOMETRICAS
1. Prueba cuales de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y cuales no.
Y de las que sean calcula su razón.
a) 5, 5/3, 5/9, 5/27,...
b) 3, 12, 60, ...
c) 54, 36, 24, 16, ...
Sol: a) Si r=1/3; b) No; c) Si r=2/3
2. Hallar el término décimo de la progresión: 2, 4, 8, ...
Sol: a10 = 210
3. Hallar el décimo término de la progresión: 1/64, 1/32, 1/16, ...
Sol: r = 2, a10 = 8
4. Determinar los seis primeros términos de una progresión geométrica si los dos
primeros valen 5 y 3, respectivamente.
Sol: 5, 3, 9/5, 27/25, 81/125, 243/625
5. El término a5 de una progresión geométrica vale 324 y la razón vale 3. Hallar el
primer término.
Sol: 4
6. En una progresión geométrica se sabe que a5 = 48 y a10 = 1536. Hallar el primer
término y la razón.
Sol: a1 = 3, r = 2
7. En una progresión geométrica a10 = 64 y la razón es 1/2. Hallar el término octavo.
Sol: a8 = 256
8. Indica la razón de las siguientes progresiones:
a) 1, 4, 16, 64... b) 3, -9, 27, -81...
c) -2, 10, -50, 250... d) 27, 9, 3, 1...
e) 2, 1/2, 1/8, 1/32... f) 24, -8, 8/3, -8/9...
Sol: a) 4; b) -3; c) -5; d) 1/3; e) 1/4; f) -1/3
9. Calcula el octavo término de la progresión geométrica: 3, 6, 12, 24...
Sol: 384
10. En una progresión geométrica a1 = 10 y a10= 5120. Hallar el término a5.
Sol: a5 = 160
11. Demostrar que en toda progresión geométrica cada término es igual a la raíz
cuadrada del producto del que le precede por el que le sigue.
I.E.S. Arroyo de la Miel Dpto de Matemáticas12. Dos términos consecutivos de una progresión geométrica son 54 y 81,
respectivamente. Hallar el lugar que ocupan en la progresión, si el primer término vale 24.
Sol: puestos 3 y 4
13. En una progresión geométrica a5 = 2 y a7 = 8. Hallar la razón y los primeros 5
términos.
Sol: a) r = 2; b) 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2
14. Calcula el decimosegundo término de la progresión: 1/3, 1, 3, 9, 27...
Sol: 59049
15. Halla el primer término de una progresión geométrica sabiendo que la razón es 1/2
y el octavo término es 17/64.
Sol: 34
16. Calcula la razón de una progresión geométrica donde el primer término es 5 y el
quinto es 405.
Sol: 3
17. En una progresión geométrica a1 = 3 y la razón 2, hallar el lugar que ocupa el
término que vale 1536.
Sol: n = 10
18. En una progresión geométrica a2 = 5 y la razón 3, hallar el lugar que ocupa el
término que vale 2187.
Sol: n = 9
19. Intercalar 4 términos entre 4 y 972 de modo que formen una progresión geométrica.
Sol: r = 3. 12,36, 108, 324
20. Halla el primer término de una progresión geométrica de razón 3 y cuyo sexto
término es 27.
Sol: 1/9
21. Interpolar 6 términos entre 64 y 1/2 de modo que formen progresión geométrica.
Sol: r = 1/2. 32, 16, 8, 4, 2, 1
22. Intercalar 3 términos entre 5 y 405 de modo que formen progresión geométrica.
Sol: r = 3. 15, 45, 135
23. En una progresión geométrica a1 = 2 y la razón r = 3, hallar el término a5 y el
producto de los cinco primeros términos.
Sol: a5 = 162; P = 1889568
24. Hallar tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 31 y su
I.E.S. Arroyo de la Miel Dpto de Matemáticasproducto 125.
Sol: 1, 5, 25 (r=5)
25. Hallar el producto de los 7 primeros términos de una progresión geométrica
sabiendo que el central vale 5.
Sol: 78125
26. Halla la suma de los cinco primeros términos de la progresión geométrica: 3, 6, 12,
24...
Sol: 93
27. Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica: 768, 384,
192...
Sol: 3069/2
28. En una progresión geométrica el primer término vale 8 y la razón 1/2. Hallar el
producto de los 6 primeros términos.
Sol: 8
29. Hallar tres números en progresión geométrica, sabiendo que su suma vale 12 y su
producto -216.
Sol: 3, -6, 12.
30. Tres números en progresión geométrica suman 155 y su producto vale 15625.
Calcular dichos números.
Sol: 5, 25, 125
31. Determinar cuatro números en progresión geométrica tal que los dos primeros
sumen 95 y los dos últimos 36.
Sol: 3, 6, 12, 24
32. Halla la suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica: 1/4, 1/8,
1/16...
Sol: 63/128
33. Halla la suma de los términos de las siguientes progresiones decrecientes e
ilimitadas:
a) 6, 3, 3/2, 3/4... b) 1/2, 1/6, 1/18, 1/54...
b) 18, 6, 2, 2/3... c) 27, 9, 3, 1, ...
Sol: a) 12; b) 3/4; c) 27; d) 81/2
34. Sabiendo que a1 = 5 y r = 2, hallar la suma de los 8 primeros términos de la
progresión geométrica.
Sol: S = 1275
35. Hallar la suma de los 4 primeros términos de la progresión geométrica: 8/5, 4/5,
I.E.S. Arroyo de la Miel Dpto de Matemáticas2/5, ...
Sol: r = 1/2, S = 3
36. Calcula el término a12 de la sucesión: an = 2n+5
Sol: 29
37. ¿Cuál es la diferencia en la sucesión: 5, 2, -1, ...?
Sol: -3
38. ¿Cuál es la suma de los 10 primeros términos de la sucesión: 2, 10, 50...?
Sol: 4882812
39. ¿Cuánto es la suma de los infinitos términos de la sucesión: 6, 3, 3/2, 3/4...?
Sol: 12

Interpolación

Interpolar significa colocar otros números entre dos dados.

Dados números a y b, interpolar n medios (diferenciales ó geométricos) entre a y b es encontrar x₁,x_2,...,x_nnúmeros de forma que a,x₁,x_2,...,x_n,b formen una progresión (aritmética ó geométrica)

Interés Compuesto

Si al invertir un capital durante un periodo de tiempo, t, a un rédito, r %, no se retiran los intereses al finalizar el periodo de inversión sino que se añaden al capital decimos que es un interés compuesto.

El capital final C_f obtenido al invertir un Capital C, al rédito r %, durante taños, a interés compuesto viene dado por la fórmula:
Para ver como se obtiene la fórmula "clic" aquí.

Actividad interactiva.

Ejercicios y examen

Ejercicios y examen.

Sucesión de números Es un conjunto de infinitos números dados de forma ordenada	Progresión Aritmética Sucesión en la que cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada diferencia	Progresión Geométrica Sucesión en la que cada término es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón
Término de la sucesión Es cada uno de los números que forman la sucesión	Término General	Término General
Sucesión decreciente Es aquella en que cada término es menor que el término anterior a₁>a₂>a₃>.........>a_n	Suma de los n primeros términos	Suma de los n primeros términos

Sucesión creciente Es aquella en que cada término es mayor que el término anterior a₁<a₂<a₃<.........<a_n		Producto de los n primeros términos
		Suma de los infinitos términos