Funciones cuadráticas.Actividades . Ejercicios

FUNCIONES CUADRÁTICAS

ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN

1. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcula el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado. 
2. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo:. La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno.
Llama x a la anchura constante del camino.¿Cuál será el área A del camino?
Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla.
Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (x, A).
Si el área del camino ha de ser de 30 m² , utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino.
¿Para qué valor de x es A = 100?
Actividad resuelta
3. El director de un teatro estima que si cobra 30 €  por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.
   Observa la tabla:

   euros descuento	0	1	2	x
   Precio	30	30-1	30-2	30-x
   Nº espectadores	500	500+100.1	500+100.2	500+ 100x
   Ingresos	30.500	(30-1)·(500+100.1)	(30-2)·(500+100.2)	(30-x)·(500+100.x)

   Los ingresos obtenidos son
   siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.

   Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .

   Las funciones f(x) = x² + 6x,  g(x) = x²  + 16  y   G(x) = - 100 x² + 2500 x + 15000
   que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.
   Gráfica de las funciones cuadráticas
   La función cuadrática más sencilla es f(x) = x² cuya gráfica es:

   x	-3	-2	-1	-0'5	0	0'5	1	2	3
   f(x) = x2	9	4	1	0'25	0	0'25	1	4	9

   Esta curva simétrica se llama parábola.
   Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.
   Dibujemos la gráfica de f(x) =  x²  -2 x - 3.

   x	-1	0	1	2	3	4
   f(x)	0	-3	-4	-3	0	5

   Completando la gráfica obtengo:
   Actividades resueltas
   
   
4. Dada la parábola  y = x²  - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la figura:
   a.   Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir,  y = 3'5 ² - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).
   b.   Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.
   c.   El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 0² - 4·0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3).
   d.   D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:
   , que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0'45  y  x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).
   e.   Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x² - 4x + 3 = 0 , cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).
   f.   Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto medio del segmento , es decir, . Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 2² - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).
   g.   Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo encima" de H.
   Como x = 5, entonces y = 5² - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H = (5,2).
   h.   Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está en la parábola "justo a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola ,  cuyas soluciones aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tienela misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).
   
   
5. Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola
   y = x² - x + 1 .
   a.   A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 0²- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).
   b.   B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x² - x + 1; 0 = x²- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).
   c.   La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es decir, . La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)²- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75).
   d.   Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto,
   y = 2²-2+1=3. C = (2,3).
   Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax² + bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.
   Obtención general del vértice
   Sea la parábola y = ax² + bx + c
   Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema .
   Igualando:
   a x² + b x + c = c → a x²  + b x = 0  → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.

   La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a

   Ejemplo
   Si  f(x) = x² + 4 x + 3, entonces  y f(2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1).
   Actividad
   
   
6. Dada la parábola  y =- x² + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos indicados.
   Cortes con los ejes
   Observa las parábolas:
   a.    y = - x² + 2x + 3
   Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x² + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.
   Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).
   El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3).
   b.   y = x² - 4x + 4
   Puntos de corte con el eje X:
   Resolviendo la ecuación x² - 4x + 4 = 0, se obtiene como única solución x = 2, que nos proporciona un solo punto de corte con el eje X :(2,0).
   Punto de corte con el eje Y: (0,4).
   c.   y = x² - 2x + 3
   Puntos de corte con el eje X:
   Si resolvemos la ecuación x² - 2x + 3 = 0 obtenemos que . No existe solución y, por lo tanto, no tiene cortes con el eje X.
   Punto de corte con el eje Y: (0,3)
   Actividades
   
   
7. Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:
   a.   y = 2x² -14x + 24         b.   y = 5x² - 10x + 5        c.   y = 6x² + 12
   d.   y = 3(x - 2)(x + 5)        e.   y = 3(x - 2)²                f.   y = 3(x² + 4)
   
   
8. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).
   
   
9. Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).
   
   
10. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).
    
    
    Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas
    Parábolas del tipo y = ax² (b = 0 , c = 0)

    Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V(0,0). Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola. Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.

    Un resultado importante
    La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x², es decir, cualquier parábola del tipo y = ax² + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax².
    Por ejemplo:
    La parábola y = 2x²-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x²; encajan perfectamente una encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos parábolas.
    Al someter la parábola y = 2x²-16x + 35 a una traslación de vector (4,3), que son las coordenadas de su vértice, obtenemos la parábola y = 2x².

    Las parábolas y = ax2 + bx + c tienen la misma forma que las parábolas del tipo y = ax2.

    Actividad
    
    
11. Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = 3x² sobre la parábola y = 3x²- 9x + 4 ^.
    Parábolas del tipo y = ax² + c , (b = 0)
    La gráfica de g(x) = 2x² + 3, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x² , desplazándola 3 unidades
    hacia arriba . El vértice se halla en V(0,3) .
    La gráfica de h(x) = x² - 4 , se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = x² , desplazándola 4 unidades hacia abajo.
    El nuevo vértice es V(0,-4) .

    Las parábolas del tipo y = ax2 + c, tienen exactamente la misma gráfica que y = ax2 , c unidades hacia arriba o hacia abajo , según el signo de c y, por lo tanto, su vértice es el punto V(0,c).

    Parábolas del tipo y = ax² + bx , (c = 0)
    La gráfica de la parábola y = 2x² - 4x pasa por el punto (0,0). La 1ª coordenada del vértice es -b/2a = 1.
    Sustituyendo, obtenemos que la 2ª coordenada del vértice es -2. Luego el vértice es V(1,-2). Utilizando la simetría de la parábola podemos obtener el punto (2,0).

    Si la parábola es del tipo y = ax2 + bx. entonces pasa por el origen de coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b, 0)

    Actividades
    
    
12. Halla en cada caso la ecuación correspondiente a cada una de estas parábolas:
    Si la parábola no cumple estas dos condiciones (o no se tiene información de que esto ocurra), su ecuación se determina a partir de tres puntos dados.
    Actividad resuelta
    
    
13. Halla la ecuación de la parábola que pasa por los puntos: A(-4,-5), B(-2,3) y C(3,-12).
    Como A es un punto de la parábola ha de cumplir su ecuación, es decir,
    -5 = a(-4)² + b(-4) + c = 16a - 4b + c.
    De la misma manera, B(-2,3) ha de cumplir: 3 = a(-2)² + b(-2) + c = 4a - 2b + c.
    Y C(3,-12) : -12 = a(3)² + b(3) + c = 9a + 3b + c.
    Obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 
    Para resolverlo, puedes utilizar este método general:
    Cambia el signo a alguna ecuación (por ejemplo a la 2ª) y súmala a las otras dos.
    Obtenemos así un sistema 2 x 2: cuyas solucione es a = -1 , b = -2.
    Sustituyendo estos valores en cualquier ecuación del sistema inicial, obtenemos c = 3.
    La parábola buscada es y = -x² - 2x + 3.
    Represéntala gráficamente.
    Actividades
    
    
14. Obtener la ecuación de la parábola que pasa por los puntos:
    A (3,7), B(1,-3) y C(-2,12).
    P(-4,-5), Q(0,3) y R(1,0).
    Representación gráfica de una parábola
    Actividades resueltas
    
    
15. Dibuja la gráfica de y = x²  - 2x - 8
    Como a = 1 es positivo, la parábola tiene sus ramas hacia arriba.
    La 1ª coordenada del vértice es p = -b/2a = -(-2)/(2·1) = 1. Y la 2ª coordenada q = 1<² - 2 · 1 - 8 = -9. Por tanto, el vértice es V(1,-9).
    Puedes hallar otros puntos de la parábola utilizando valores de x situados a la misma distancia de 1 por la izquierda y por la derecha.
    Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado: 0 = x² - 2x - 8.
    Como sus soluciones son x = -2 y x = 4, los puntos de corte serán (-2,0) y (4,0).
    
    
16. Dibuja la gráfica de y = 4x² + 4x + 1.
    Como a = 4 es positivo la parábola tiene sus ramas hacia arriba.
    La 1ª coordenada del vértice es p = -b/(2a) = -4/2·4 = -0'5.
    Y la 2ª coordenada q = 4·(-0'5)² + 4(-0'5) + 1 = 0. Luego el vértice es V(-0'5,0).
    Utilizando valores de x situados a la misma distancia de -0'5 por la izquierda y por la derecha:
                                            
    
    
17. Dibuja la gráfica de  
    Como a = -1/2 es negativo, la parábola tiene sus ramas hacia abajo.
    La 1ª coordenada del vértice es  
    La segunda coordenada será:  .
    El vértice es, pues, V(2,-1)
    Utilizando valores de x situados a la misma distancia de 2 por la izquierda y por la derecha:
                            
    Resumiendo:

    Dada la parábola y = ax2 + bx + c, entonces: Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más cerrada, menos cerrada) depende del coeficiente a de x2 . Si a > 0, la forma es ^ y si a < 0, la forma es _. Cuando más grande sea │a│, más cerrada es la parábola. Existe un único corte con el eje Y, el punto (0,c) . Los cortes con el eje X, se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c = 0  y pueden ser dos, uno o ninguno. La 1ª coordenada del vértice V(p,q) es p = -b/2a.

    Actividades
    
    
18. Determina el signo de los coeficientes de las siguientes parábolas:
    Resolución del caso 1 :
    a₁ < 0 porque la parábola tiene sus ramas hacia abajo.
    La 1ª coordenada del vértice es negativa, es de decir -b₁/2a₁ < 0; luego -b₁ > 0, o lo que es lo mismo, b₁ < 0.
    El único corte con el eje Y es el punto (0,c₁). Observando la gráfica c₁ < 0.
    Estudia los otros casos.
    Dibuja una parábola y = ax² + bx + c para cada caso según sea el signo de a, b y c:

    	a	b	c
    1	> 0	> 0	> 0
    2	> 0	> 0	< 0
    3	> 0	< 0	> 0
    4	> 0	< 0	< 0
    5	< 0	> 0	> 0
    6	< 0	> 0	< 0
    7	< 0	< 0	> 0
    8	< 0	< 0	< 0

    
    
    Optimización
    Actividad resuelta
    
    
19. El director de un teatro sabe que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores. Y que cada bajada de 1€ , le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del nº de bajadas del precio.
    Obtuvimos al principio del tema que las ganancias obtenidas son
    G(x) = (30-x)·(500+100.x) = -100 x² + 2500x + 15000,
    siendo x el nº de bajadas de 1 €  en el precio de la entrada.
    Esta función es una parábola. Su forma es ∩ con lo cual el máximo beneficio teórico se alcanza en el vértice.
    La primera coordenada del vértice es:  .
    El número real de descuentos de  1 €  que garanticen un máximo de ganancias se obtienen para:
    x = 12 ( precio de , asisten 1.000 espectadores obteniendo unas ganancias de 30600  € )
    x = 13 ( precio de 1.000, asisten 1.100 espectadores obteniendo unas ganancias de 30600  €)
    Sería mejor aún rebajar 12'5 €, en cuyo caso las ganancias serían de  30625 €.
    
    
    Actividades
    
    
20. Un hortelano posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno adosada a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?.
    
    
21. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -4x² + 8x. Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil.
    Intersección de recta y parábola
    Como los puntos comunes (si los hay) de una recta y una parábola han de verificar la ecuación de ambas, para obtenerlos, tendremos que resolver el sistema de ecuaciones formado por ellas.
    Actividades resueltas
    
    
22. Estudiar la intersección de la recta y = -x + 2 y la parábola y = x².
    Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones:
    x² = x + 2 → x² - x - 2 = 0. Las soluciones de esta ecuación son x ₁ = 1 y x₂ = -2.
    Si x₁ = 1, entonces y₁ = 1.
    Si x₂ = -2, entonces y₂ = 4.
    Por tanto, hay dos puntos de corte entre recta y parábola y tienen de coordenadas (1,1) y (-2,4), respectivamente.
    Se dice, entonces, que la recta y la parábola son secantes.
    
    
23. Estudiar la intersección de la parábola y = -x² con la recta y = -6x + 9 .
    El sistema tiene ahora una solución (3,-9).
    Por tanto, la recta y la parábola son tangentes.
    
    
24. Estudiar la intersección de la parábola y = -x² y la recta y = -x + 5.
    El sistema no tiene solución y, por tanto, la recta y la parábola no tienen ningún punto de corte.
    En consecuencia, las posiciones relativas de una recta y una parábola son:
    según que el sistema que forman sus ecuaciones tenga dos soluciones, una o ninguna.
    Actividad resuelta
    
    
25. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2x² + 4x. A 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x - 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.
    El punto de impacto se obtiene resolviendo el sistema  , que tiene dos soluciones:
    x₁ = 6/4 = 1'5 (y₁ = 3) y x₂ = -1, que no tiene sentido para nuestro problema real. Es decir, el impacto se producirá en el punto (1'5,3).
    Actividad
    
    
26. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la ecuación y = -x² + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos.
    a.   Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros.
    b.   ¿A qué profundidad inicia el ascenso?
    
    
    Área bajo de una curva
    Podemos estimar el área encerrada por una curva . Por ejemplo, esta gráfica corresponde a la parábola  y = 4x - x²  con x tomando valores desde 0 hasta 4.
    A partir de los punto marcados, y trazando perpendiculares al eje OX, obtenemos una serie de trapecios y triángulos , cuya suma de áreas se aproximará al área bajo la curva.
    Sólo necesitas recordar :
    Área del triángulo =; Área del trapecio = 
    En nuestro caso y , cuya suma total proporciona un área aproximada de 10 unidades de superficie. Por supuesto podrías sólo calcular el área de A y B y multiplicando por dos obtener el área total)
    Actividad resuelta
    
    
27. El techo de un hangar para aviones está diseñado de tal forma que se corresponde con la curva  con x tomando valores desde -20 hasta 20.
    Obtenemos para la función anterior esta tabla de valores:
    que nos proporciona la gráfica adjunta.
    La suma de estas áreas es de 690 m ².
    El volumen del hangar se obtiene multiplicando el área del frontal (base) por la profundidad (altura).
    Actividades
    
    
28. Dibuja la gráfica de  para valores de x desde 0 hasta 5.
    
    
29. Este dibujo muestra una pieza de una máquina de bronce. La parte curva sigue la fórmula de la función anterior. Estima el volumen de bronce que necesitas para construir esta pieza.
    
    
30. Un túnel de 100 m de largo ha de ser excavado. La boca del túnel está dada por la ecuación  con x desde 0 hasta 6. Estima el volumen de tierra y roca que hay que excavar para construir el túnel.

Actividades finales

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Música Renacimiento. Actividad interactiva.

 Renacimiento (1450-1600).

Desde mediados del siglo XV hasta fines del XVI, se produce en Europa,
especialmente en Italia, una renovación artística, literaria, científica, cultural, etc. La
corriente de pensamiento en torno a la que gira el Renacimiento se conoce con el
nombre de Humanismo. El ser humano vuelve a mirarse a sí mismo y a la naturaleza
que le rodea, a ser el centro, la medida de todas las cosas. Se pasa progresivamente de
una sociedad teocéntrica, centrada exclusivamente en la religión, a otra secular, centrada
en el hombre, en la que se intenta explicar el mundo y la naturaleza, no por medio de la
fe, sino por la razón y la ciencia.
El referente, el modelo a seguir, es la cultura clásica griega y romana. Se busca
la belleza, la armonía, la claridad en el arte, que empieza a valorarse por sí mismo.
En esta época tuvo lugar un gran avance de las ciencias experimentales:
progresos en medicina, se inventan la brújula, la imprenta ( de importantes
consecuencias para la cultura en general y para la música en particular), nuevas
concepciones en astronomía, se realizan descubrimientos muy importantes como el de
América en 1492.
Se producen cambios políticos y sociales: se afianza el concepto de monarquía,
además de la nobleza, aparece una nueva clase social la burguesía,( comerciantes,
banqueros,..).
En cuanto al ámbito religioso surge la reforma protestante con importantes
consecuencias para la música.
La iglesia será el principal mecenas y fuente de inspiración y de ingresos para
los artistas, aunque progresivamente hay un apoyo cada vez mayor de la nobleza y de la
burguesía.

5.1- Características de la música renacentista.

Una de las características más importantes es el uso de la polifonía, ya sea en
música vocal, instrumental, religiosa o profana, la polifonía será la textura de todas las
obras renacentistas. La polifonía es una técnica de composición que surgió en la Edad
Media y consiste en varias voces o melodías que suenan simultáneamente, todas con la
misma importancia (se busca el equilibrio y la armonía entre las voces).
El número de las voces será variable pero el modelo a seguir, considerado como
el más perfecto, será una polifonía a cuatro voces o melodías: Soprano, contralto, tenor,
bajo.
La técnica polifónica va desde la más simple en la que las voces van al mismo
ritmo, pronunciando las mismas palabras, hasta las más complejas en las que las voces
tienen distinto ritmo, cantan diferentes palabras al mismo tiempo, y usan la imitación,
entrando una detrás de otra imitando lo que ha hecho la anterior.
La polifonía afectó a los instrumentos siendo los más importantes aquellos que
son polifónicos: órgano, clave, laúd, vihuela, arpa, etc. Además los melódicos empiezan
a construirse por familias para abarcar un mismo timbre todas las voces así la familia de
la flauta (soprano, contralto, tenor, bajo,), la familia de la viola, la del violín, etc.
El ritmo depende del tipo de música a veces es libre porque depende del texto
(motete, madrigal, etc.), otras medido como el villancico la música de danza, etc.

En el renacimiento predomina la música religiosa sobre la profana, aunque a partir del
XVI, la música profana irá adquiriendo mayor importancia, y la música vocal sobre la
instrumental.
4.2.- Formas musicales renacentistas.
4.2.1.- Formas vocales.

a) Religiosa:
Motete: Es la principal forma religiosa de la música católica, se trata de una obra
polifónica, a cuatro o cinco voces, con texto religioso en latín, sin instrumentos, de
ritmo libre porque intenta expresar el sentir del texto, normalmente usa la imitación
entre las voces. Cada frase del texto se canta con una melodía que aparece
sucesivamente en todas las voces. (Se prohibía cantar a las mujeres en la iglesia por lo
que las voces agudas las cantaban niños, falsetistas, o castratis).
Misa: La misa es una forma musical compleja, resultado de la unión de todas las
piezas integrantes de la liturgia, que puedes estar compuestas como el motete, o
siguiendo otras técnicas de variación o imitación.
Coral: Es la principal forma religiosa de la iglesia protestante. Es una composición
sencilla a cuatro voces, con texto en alemán y de textura homofónica, es decir, las voces
van al mismo ritmo cantando las mismas palabras a la vez. Esto facilitaba la
participación de los fieles en el canto a diferencia de la música católica mucho más
compleja.

b) Profanas:
Madrigal: Será la forma vocal más importante del Renacimiento, de origen italiano,
es una forma polifónica compleja a cuatro o cinco voces, normalmente sin instrumentos,
de ritmo libre porque pretende describir los sentimientos del texto, en su mayor parte de
carácter amoroso y de grandes poetas italianos. Usa la imitación entre las voces, e
intevienen tanto voces femeninas como masculinas. Será una música no popular sino de
ambiente cortesano.
Chanson: Canción polifónica de origen francés, a varias voces con
acompañamiento instrumental, deriva de la canción trovadoresca. Suele tener una
estructura de estrofas y estribillo. Forma menos compleja que el madrigal, usando poco
la imitación entre las voces.
Villancico: Es la forma más representativa de la música española. Canción
polifónica normalmente a cuatro voces, de textura polifónica sencilla, en la que las
voces van al mismo ritmo, cantando el mismo texto, suele llevar acompañamiento
instrumental. Está estructurado en estrofas y estribillos.

 Formas instrumentales.
Aunque el Renacimiento fue una época principalmente de polifonía vocal, el mismo
periodo fue testigo de un interés cada vez mayor por la música instrumental. Un signo
de la preocupación creciente por la música instrumental fue la publicación de libros que
describían los instrumentos o impartían instrucciones para su ejecución.
No obstante durante el Renacimiento gran parte de la música instrumental estaba
ligada a la música vocal. Los instrumentos podían utilizarse para doblar una voz o
sustituirla en composiciones polifónicas tanto sacras como profanas; servían también
para acompañar el canto, en donde las voces o melodías más graves se sustituían por
instrumentos, y así madrigales, villancicos o canciones de todo tipo se transformaban en
solos vocales con acompañamiento instrumental. También comienzan a surgir
composiciones instrumentales, sobre todo a partir del siglo XVI, con un carácter
independiente de la música vocal.
La música instrumental podía ser ejecutada por un conjunto instrumental, o bien por
un instrumento solista como el laúd, vihuela, órgano o clave.
Las principales formas instrumentales del Renacimiento son las siguientes:
Música de danza: La danza estaba ampliamente difundida y gozaba de una gran
estima en el Renacimiento, muchas son arreglos de melodías para uso popular, pero la
gran mayoría fueron escritas para ocasiones sociales celebradas en los hogares de la
burguesía o en las cortes aristocráticas. Así podemos decir que parte considerable de la
música instrumental del Renacimiento consistía en piezas de danza bien para laúd,
instrumentos de teclado o conjuntos instrumentales.
Estas piezas tenían ritmos marcados y regulares, se dividían en partes diferenciadas
y utilizaban una técnica polifónica sencilla.
Normalmente las danzas se agrupaban por parejas, de ritmos contrastantes unas
binarias otras ternarias, unas lentas otras rápidas.
Transcripciones de música vocal: Otra de las principales forma instrumentales del
renacimiento será la adaptación de piezas vocales a la ejecución instrumental. Al
sustituir las voces humanas por instrumentos, surgieron formas instrumentales como los
ricercari o canzonas que no son más que las formas instrumentales del motete o de la
canción polifónica profana adaptada a los instrumentos. Estas formas se diferenciaban
de los modelos vocales por la mayor libertad de las voces o melodías, y por la
utilización de adornos típicamente instrumentales.
Estas formas instrumentales se escribían para instrumentos de teclado: órgano,
clave, etc., para cuerda: laúd, vihuela, arpa; o para conjuntos instrumentales.
Variaciones: Son formas de composición que parten de una melodía sencilla, que se
va repitiendo variándose el ritmo, las armonías, el timbre, etc. Pero de tal manera, que
se reconoce siempre el tema inicial. La mayor parte de las variaciones se realizaban
sobre melodías de danzas, o sobre canciones conocidas. Probablemente esta forma de
composición tuvo su origen en España con los compositores para vihuela y teclado, con
el nombre de diferencias.
 Piezas improvisadas: Son piezas en las que no hay un ritmo, melodía o estructura
fija, y en la que la improvisación juega un papel importante. Se escribían para
instrumentos solistas, (sobre todo de teclado o de cuerda). Reciben diferentes nombres
(fantasías, preludios, etc.)

RENACIMIENTO

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Agua subterráneas.Marinas.Erosión.

LAS AGUAS SUBTERRÁNEAS 

Las aguas subterráneas son aguas continentales que provienen de la lluvia, el deshielo los torrentes, los ríos o, incluso, el mar. Se infiltran en el terreno a través de los poros y las grietas y se almacenan o circulan por el subsuelo. Los factores que condicionan la infiltración son: El clima ya que cuanto mayor sea la precipitación, mayor será la cantidad de agua que se pueda infiltrar. La pendiente, porque si la inclinación del terreno es pronunciada, el agua discurre rápidamente, sin  tiempo a infiltrarse. La vegetación, que dificulta el movimiento del agua y favorece, por ello, la infiltración. La permeabilidad de los materiales.

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ACCIÓN GEOLÓGICA DE LAS AGUAS SUBTERRÁNEAS

La acción geológica de las aguas subterráneas es muy potente, independientemente de la velocidad con la que discurren las aguas, que es una velocidad muy lenta. Esta acción puede ser de dos tipos:

Acción mecánica El agua, al infiltrarse, rellena los poros de la roca, aumentando el peso de ésta. Si los materiales se encuentran situados en una pendiente de gran inclinación o sobre una capa de arcillas, la roca se deslizará pendiente abajo por efecto de la gravedad, generando una colada de barro. Estas coladas de barro son muy destructivas, cortando vías de comunicación, obstruyendo el curso de un río, destruyendo pueblos...
Acción química Se produce por la suma de la acción de los gases del aire, el agua y las sales que lleva disueltas el agua. Puede produciroxidación de materiales ricos en hierro, disolución de materiales solubles , como el yeso, lo que provoca la desaparición de la roca, sustitución de materiales solubles, por otros que van disueltos en el agua, que precipitan y formangeodas. Por último, se puede producir la carbonatación, proceso de disolución de rocas calizas por efecto del CO2, lo que origina el llamado proceso kárstico.

Animación sobre el proceso kárstico

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ACCIÓN GEOLÓGICA DE LAS AGUAS MARINAS

El agua del mar realiza una gran actividad erosiva debido a la actuación de las mareas, las corrientes marinas y, sobre todo, de las olas. Las olas actúan como un gran martillo que lanza aire comprimido sobre el lugar donde rompe, así como los materiales que transporta. El aire se introduce entre las grietas o poros y, al ser comprimido por el peso del agua de la ola, agranda la grieta o el poro para poder escapar.  La acción geológica de las aguas marinas la vamos a estudiar como: Erosión Transporte Sedimentación

ACCIÓN EROSIVA DEL AGUA MARINA

La erosión del litoral no es uniforme; depende de la fuerza con la que actúe el agua, el tipo de costa sobre la que actúa y los materiales que constituyen la costa. 

Playas

En costas bajas el agua realiza acciones erosivas o de sedimentación dependiendo de la velocidad de las olas.  En épocas de borrasca (otoño e invierno) el agua golpea con fuerza la superficie de la costa y arrastra gran cantidad de materiales, produciéndose una fuerte actividad erosiva.  En épocas anticiclónicas (primavera, verano) el agua llega a la costa con poca velocidad. Las olas son suaves y se produce sedimentación.

Acantilados

En costas altas las olas rompen en la base del acantilado, socavando la roca.  Si los materiales son blandos, el acantilado se destruirá rápidamente, formando ensenadas o bahías, como en playas de la Costa Brava.  Si los materiales son duros, la destrucción del acantilado será más lenta, dando origen a promontorios o cabos, como el Cabo de Estaca de Bares, en Lugo o islas cercanas a la costa, como las Islas Cíes, en Pontevedra. En la formación del acantilado se distinguen dos etapas: Formación de una plataforma de abrasión: La ola, al romper en la base del acantilado, crea una excavación, originando una zona plana que es la superficie de abrasión. Formación de una playa de rocas y guijarros: El escarpe que se forma sobre la plataforma de abrasión se derrumba, depositándose sobre la plataforma. Así el acantilado retrocede hacia el interior de la costa.

TRANSPORTE Y SEDIMENTACIÓN DE MATERIALES POR EL MAR

El transporte de los materiales lo realizan las aguas marinas. También lo realizan las olas, pero sólo si el oleaje actúa en sentido oblicuo a la línea de costa. Los materiales que sedimentan en la costa provienen de la erosión continental. El depósito de materiales en el litoral origina distintas estructuras como son: Playas Se encuentran en costas bajas. Pueden ser largas y rectas, como la playa de San Juan, en Alicante, o en forma de concha, como la famosa playa de San Sebastián.

Cordones litorales, barras o restingas Son depósitos de arena paralelos a la costa que pueden sobresalir del agua en marea baja. Flechas litorales Se forman cuando un cordón litoral queda unido a la costa por un extremo.

• Albuferas

Lagunas saladas comunicadas con el mar. Se forman a partir de un cordón litoral que se une por los dos extremos a la costa.

• Tómbolos

Como se ve en la imagen, son depósitos de arena que unen un islote con la costa.

Actividad de investigación: la energía del mar

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